2017年入試問題研究に戻る京大特色3番解答
(1) 命題
どの自然数 $n$ に対しても，このゲームは先手必勝または後手必勝のいずれか一方である．を $n$ についての数学的帰納法で示す．
$n=1$ のときは先手必勝で確定する．
$n$ より小さい自然数に対して成立するとする．
$n$ のときを考える．
$n$ 以下の平方数は有限個なので，$n$からそれら平方数を引いた数も有限個である．
それらの数に対しては，帰納法の仮定から， 先手必勝または後手必勝のいずれかが確定する． その中に，後手必勝の数があれば，$n$のときはそれに対応する平方数を除くことで， 先手必勝となる． その中に，後手必勝の数が存在しなければ， 後手必勝となる． $n$ のときも先手必勝または後手必勝が確定し，命題が成立する．
よってすべての自然数 $n$ に対して命題が成立する．
(2) $n=456$ のとき． 先手は，456に含まれる最大の平方数 $21^2=441$ をとる． $n-441=15$ である． 15は後手必勝であることが示されれば，456は先手必勝である．
15のとき，先手は1，4，9をとることができる． その結果，14，11，6となる．後手はここで 5，2，2とすることができる．ここから後手必勝はすでに示されている．
よって，15は後手必勝であることが示され，その結果 $n=456$ は先手必勝であることが示された．(3) 背理法で示す．後手必勝となる $n$ が有限個であるとし， その最大値を $N$ とする．$N+1$ 以上の $n$ に対してはすべて先手必勝である．
$n=(N+1)^2-1$ を考える．ここに含まれる最大の平方数は $N^2$ でこれを除くと $2N$ となり， $2N>N+1$ である．よってこの $n$ からいかなる平方数を取り除いても $N$ より大きい．
ところがこれはすべて，ここからはじめて先手必勝となるので， $n=(N+1)^2-1$ は後手必勝である．
$n=N$ が後手必勝の最大値であるという仮定と矛盾した．
よって，後手必勝となる $n$ は無限個ある．※ この解答は11月29日に授業の中で皆で討論したて出てきた解答である．