2017年入試問題研究に戻る京大特色入試総人理系2番
双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の $x>0$ の部分を $C$，$P(X,\ Y)$ を第１象限の点とする．点 $P$ から $C$ へ接線が2本引けて，それらの接点を $Q\left(\alpha,\ \dfrac{1}{\alpha} \right)$，$R\left(\beta,\ \dfrac{1}{\beta} \right)\ (0< \alpha< \beta)$ とすると $\angle QPR=\dfrac{3}{4}\pi$ となるという．このような点 $P$ 全体の軌跡を $\gamma$ とする．
問1 軌跡 $\gamma$ の方程式を求めよ．
問2 軌跡 $\gamma$，$x$ 軸の $x\geqq 0$ なる部分，$y$ 軸の $y\geqq 0$ なる部分の3つで囲まれる図形の面積を $S$ とすると \[ 4(\sqrt{2}-1)< S< 2 \] が成り立つことを示せ．