2017年入試問題研究に戻る名大理系4番解答
(1) $ z \in M $ なら $ \dfrac{1}{z}\in M $ なので，その積 $ z\cdot\dfrac{1}{z}=1 \in M $ ．これから $ -1\in M $ である．
(2) $ M $ の要素 $ z $ と $ -z $ を組にする．この組の個数を $ l $ とする． 条件(II)から $ 0\not \in M $ なので， $ z\ne -z $ である．したがって， $ n=2l $ となり， $ n $ は偶数である．
別解 \[ M=\{z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n\} \] とする．(1)より $ -1 $ は $ M $ の要素である． よって， $ k=1,\ 2,\ \cdots,\ n $ に対して， $ -z_k $ はすべて異なり， かつ $ -z_k\in M $ であるから，それらの積は， $ z_k $ の積と一致する． つまり \[ (-z_1)\cdots(-z_n)=z_1z_2\cdots z_n \] これより $ (-1)^n=1 $ となり， $ n $ は偶数である．
(3) $ 1,\ -1 \in M $ である．この2要素以外の要素 $ \alpha $ をとる． このとき $ -\alpha,\ \dfrac{1}{\alpha}\in M $ で， $ -\alpha,\ \dfrac{1}{\alpha}\ne 1,\ -1,\ \alpha $ である． 従って $ -\alpha=\dfrac{1}{\alpha} $ でなければならず， $ \alpha^2=-1 $ である．よって， \[ M=\{1,\ -1,\ i,\ -i\} \] ただし， $ i $ は虚数単位である．
(4) \[ M=\{z_1,\ z_2,\ z_3,\ z_4,\ z_5,\ z_6\} \] とする． $ M $ の任意の要素 $ w $ をとる． $ k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6 $ に対して $ wz_k $ はすべて異なり， かつ， $ wz_k\in M $ であるから，それらの積は， $ z_k $ の積と一致する． \[ w^6z_1z_2\cdots z_6=z_1z_2\cdots z_6 \] ここで $ z_1z_2\cdots z_6\ne 0 $ より， $ w^6=1 $ である． つまり $ n=6 $ のとき， $ M $ の要素はすべて1の6乗根である． 相異なる1の6乗根はちょうど6個なので， $ M $ はこれら6個の要素より成る． 1の6乗根の符号逆の数，逆数，6乗根の積はすべて1の6乗根なので条件を満たす． \[ z^6-1=(z-1)(z+1)(z^2-z+1)(z^2+z+1) \] なので， \[ M=\left\{1,\ -1,\ \dfrac{1+\sqrt{3}i}{2},\ \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2},\ \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2},\ \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} \right\} \] である．