東大理科5番解答
(1) $ a=0 $ のとき直線は $ y=b $ ．この直線は放物線 $ D $ の軸と平行なので，接しない． $ D $ の方程式に $ a $ を乗じ $ ax=ay^2+ak $ として，それぞれ $ y=ax+b $ から， $ C $ については $ y $ を， $ D $ については $ x $ を消去することにより得られる2次方程式 \[ \begin{array}{l} ax+b=x^2+k\\ y-b=ay^2+ak \end{array} \] が，直線 $ y=ax+b $ が共通接線であるときはともに重解をもつ．よってその判別式を取ることにより， \[ \begin{array}{l} a^2-4k+4b=0\\ 1-4a(ak+b)=0 \end{array} \quad \cdots ① \] である．これから $ b $ を消去して， \[ 4a(a+1)k=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1) \] である． $ a\ne -1 $ なので， \[ 4ak=a^2-a+1,\ つまり，k=\dfrac{a^2-a+1}{4a} \] このとき， \[ b=k-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{-a^3+a^2-a+1}{4a} \] である．
(2)
$ a=2 $ より
\[
k=\dfrac{2^2-2+1}{4\cdot 2}=\dfrac{3}{8}
\]
また，
\[
b=\dfrac{-8+4-2+1}{8}=-\dfrac{5}{8}
\]
よって，傾きが2の共通接線は
\[
y=2x-\dfrac{5}{8}
\]
である． $ C $ と $ D $ は直線 $ y=x $ に関して対称なので，
$
x=2y-\dfrac{5}{8}
$ ，
つまり，
\[
y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{16}
\]
も共通接線である．
さらに， $ a=-1 $ のとき，
① の2式は同一の式となる．
よって， $ a=-1 $ ， $ k=\dfrac{3}{8} $ に対して，
$ a^2-4k+4b=0 $ となる $ b=\dfrac{1}{8} $ にとれば，
このとき共通接線となる．
以上より，共通接線は3本存在し，
それらの傾きと $ y $ 切片は，
\[
(傾き,\ y 切片)
=\left(2,\ -\dfrac{5}{8} \right),\
\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{16}\right),\
\left(-1,\ \dfrac{1}{8}\right)
\]
である．
※(1) $ a=-1 $ の共通接線はつねに存在する．
$ k $ に対して， $ b=k-\dfrac{1}{4} $ にとればよい．
※(2) $ 4ak=a^2-a+1 $
\[
a^2-(1+4k)a+1=0
\]
この判別式を考え
\[
(1+4k)^2-4=(4k-1)(4k+3) >0
\]
より，
\[
k< -\dfrac{3}{4},\ \dfrac{1}{4}< k
\]
のとき，3本の共通接線がある．
