2017年入試問題研究に戻る

東北大理系6番解答

(1)　 \begin{eqnarray*} I(a,\ b)&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1}{a}e^{ax} \right)'\cos bx\,dx =\biggl[\dfrac{1}{a}e^{ax} \cos bx\biggr]_0^{\frac{\pi}{2}} +\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{a}e^{ax}\cdot b\sin bx\,dx\\ I(a,\ b)&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{ax}\left(\dfrac{1}{b}\sin bx \right)'\,dx =\biggl[e^{ax}\cdot \dfrac{1}{b} \sin bx\biggr]_0^{\frac{\pi}{2}} -\int_0^{\frac{\pi}{2}}ae^{ax}\cdot\dfrac{1}{b}\sin bx\,dx \end{eqnarray*} よって \begin{eqnarray*} \dfrac{a}{b}I(a,\ b)+\dfrac{b}{a}I(a,\ b) &=&\dfrac{a}{b}\biggl[\dfrac{1}{a}e^{ax} \cos bx\biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}+ \dfrac{b}{a}\biggl[e^{ax}\cdot \dfrac{1}{b} \sin bx\biggr]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=&\dfrac{1}{ab}\left(ae^{\frac{a\pi}{2}}\cos\frac{b\pi}{2}-a+be^{\frac{a\pi}{2}}\sin\frac{b\pi}{2} \right) \end{eqnarray*} これより， \[ I(a,\ b)=\dfrac{1}{a^2+b^2}\left\{e^{\frac{a\pi}{2}}\left(a\cos\frac{b\pi}{2} +b\sin\frac{b\pi}{2}\right)-a\right\} \] (2) \[ \sin bx\sin cx=\dfrac{1}{2}\{\cos(b-c)x-\cos(b+c)x\} \] なので， \begin{eqnarray*} J(a,\ b,\ c)&=&\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{ax}\{\cos(b-c)x-\cos(b+c)x\}\,dx\\ &=&\dfrac{1}{2} \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{ax}\cos(b-c)x\,dx \right) -\dfrac{1}{2} \left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{ax}\cos(b+c)x\,dx \right)\\ &=&\dfrac{1}{2}I(a,\ b-c)-\dfrac{1}{2}I(a,\ b+c) \end{eqnarray*} (3) \begin{eqnarray*} 2\sin tx \cos 4tx&=&\sin(tx+4tx)+\sin(tx-4tx)=\sin 5tx-\sin 3tx\\ 2\sin 2tx \cos 3tx&=&\sin(2tx+3tx)+\sin(2tx-3tx)=\sin 5tx-\sin tx\\ 4\sin tx \,\sin 2tx \,\cos 3tx \,\cos 4tx&=&(\sin 5tx-\sin 3tx)(\sin 5tx-\sin tx)\\ &=&\sin 5tx\,\sin 5tx-\sin 5tx \sin 3tx-\sin 5tx \sin tx+\sin 3tx \sin tx \end{eqnarray*} であるから \begin{eqnarray*} &&8\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\sin tx \,\sin 2tx \,\cos 3tx \,\cos 4tx\,dx\\ &=&2\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\left\{\sin 5tx\,\sin 5tx-\sin 5tx \sin 3tx-\sin 5tx \sin tx+\sin 3tx \sin tx \right\}\,dx\\ &=&2J(1,\ 5t,\ 5t)-2J(1,\ 5t,\ 3t)-2J(1,\ 5t,\ t)+2J(1,\ 3t,\ t)\\ &=&I(1,\ 0)-I(1,\ 10t)-I(1,\ 2t)+I(1,\ 8t)-I(1,\ 4t)+I(1,\ 6t) +I(1,\ 2t)-I(1,\ 4t)\\ &=&I(1,\ 0)-I(1,\ 10t)+I(1,\ 8t)-2I(1,\ 4t)+I(1,\ 6t) \end{eqnarray*} となる．ここで(1)から \begin{eqnarray*} \left|I(a,\ b) \right|&=& \dfrac{1}{a^2+b^2}\left|e^{\frac{a\pi}{2}}\left(a\cos\frac{b\pi}{2} +b\sin\frac{b\pi}{2}\right)-a\right|\\ &\leqq&\dfrac{1}{a^2+b^2}\left(\left|e^{\frac{a\pi}{2}}a\cos\frac{b\pi}{2} \right|+\left|e^{\frac{a\pi}{2}}b\sin\frac{b\pi}{2}\right|+|a| \right)\\ &\leqq&\dfrac{1}{a^2+b^2}\left\{e^{\frac{a\pi}{2}}(|a|+|b|)+|a|\right\} \end{eqnarray*} なので，$a$を固定して$b\to \infty$とすると， \[ \lim_{t \to \infty}I(a,\ b)=0 \] となる．また \[ I(1,\ 0)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\,dx=e^{\frac{\pi}{2}}-1 \] なので， \[ \lim_{t \to \infty}8\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\sin tx \,\sin 2tx \,\cos 3tx \,\cos 4tx\,dx=e^{\frac{\pi}{2}}-1 \] である．

問題