2017年入試問題研究に戻る東北大文系3番解答
(1) $ c=2 $ なので， $ a=3b+2 $ である． よって， $ s $ と $ t $ の方程式は \[ (3b+2)s+3t=6b+5 \] となる．ここで \[ (3b+2)\cdot 1+3\cdot(b+1)=6b+5 \] なので，辺々引いて， \[ (3b+2)(s-1)+3\{t-(b+1)\}=0 \] $ 3b+2 $ と3は互いに素なので， これを満たす $ s $ と $ t $ は，整数 $ k $ を用いて \[ s-1=3k,\ t-(b+1)=-(3b+2)k \] と表される． $ s\geqq 0,\ t\geqq 0 $ となるのは， $ k=0 $ のときにかぎる． よって，求める $ s $ と $ t $ は \[ (s,\ t)=(1,\ b+1) \] である．
(2) $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s_0,\ t_0 $ が存在すれば， $ n+3=as_0+3(t_0+1) $ なので， $ n+3=as+3t $ となる負でない整数 $ s,\ t $ が存在する．
よって， $ n\geqq 2a-2 $ のとき $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s,\ t $ が存在することを示すためには， $ n=2a-2,\ 2a-1,\ 2a $ のときに， $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s,\ t $ が存在することを示せばよい．
(1)と同様に求めることで，次のような負でない解が存在する．
$ c=2 $ のとき． $ a=3b+2 $ で \[ 2a-2=6b+2,\ 2a-1=6b+3,\ 2a=6b+4 \] である．方程式は次のようになり，それぞれの負でない解が次のように存在する． \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 6b+2=(3b+2)s+3t&6b+3=(3b+2)s+3t&6b+4=(3b+2)s+3t\\ \hline (1,\ b)&(0,\ 2b+1)&(2,\ 0)\\ \hline \end{array} \] $ c=1 $ のとき． $ a=3b+1 $ で \[ 2a-2=6b,\ 2a-1=6b+1,\ 2a=6b+2 \] である．同様に考える． \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 6b=(3b+1)s+3t&6b+1=(3b+1)s+3t&6b+2=(3b+1)s+3t\\ \hline (0,\ 2b)&(1,\ b)&(2,\ 0)\\ \hline \end{array} \] よって， $ n\geqq 2a-2 $ のとき， $ n=as+3t $ を満たす負でない整数 $ s,\ t $ が存在することが示された．