2017年入試問題研究に戻る東工大1番解答
12の因数分解は \[ 12=(1+1)(5+1)=(2+1)(3+1)=(2+1)(1+1)(1+1)=(1+11) \] なので，条件(i)より， $ N $ は異なる素数 $ p,\ q,\ r\ (p< q< r) $ を用いて \[ N=pq^5=p^5q=p^2q^3=p^3q^2 =p^2qr=pq^2r=pqr^2=p^{11} \] 一方，条件(ii)より $ N $ は12の倍数である． $ 12=2^2\cdot 3 $ なので， 最小の素因子の巾は2以上であり，素因子は2個以上である． よって， $ pq^5,\ pq^2r,\ pqr^2,\ p^{11} $ は除かれる．したがって \[ N=2^53=2^23^3=2^33^2=2^23r \] のいずれかである．
$ N=2^23r $ の型のとき． 約数に \[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12 \] がある．12が7番目の約数なので， $ r $ は $ 5\leqq r< 12 $ の範囲になければならない． $ r=5 $ のときは12未満の約数として5と10が入るので，12は8番目になる． $ r=7,\ 11 $ のときは12未満の約数として $ r $ のみが入り，12は7番目になる． よって $ N=2^23\cdot7=84 $ と $ N=2^23\cdot11=132 $ は条件をみたす． 他の3つについて，それぞれ約数を小さい方から7個並べる． \[ \begin{array}{ll} 2^53:&1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12\\ 2^23^3:&1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12\\ 2^33^2:&1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9 \end{array} \] この場合は $ N=2^53=96 $ と $ N=2^23^3=108 $ が条件をみたす． 以上から，条件をみたすのは次の4数である． \[ 84,\ 96,\ 108,\ 132 \]