2018年入試問題研究に戻る特色入試総人理系1番解答
$ C_1 $ 上の点 $ (t,\ at^2+bt+c) $ での接線は， $ y'=2ax+b $ より \[ y=(2at+b)(x-t)+at^2+bt+c=(2at+b)x-at^2+c \] である．これが $ C_2 $ とも接する条件は， \[ px^2+qx+r=(2at+b)x-at^2+c \] つまり， \[ px^2-(2at-q+b)x+at^2+r-c=0 \] が重解となる条件であり，それはこの方程式の判別式 $ D_1 $ が0となることである． \begin{eqnarray*} D_1&=&(2at-q+b)^2-4p(at^2+r-c)\\ &=&4a(a-p)t^2-4a(q-b)t+(q-b)^2-4p(r-c)=0 \cdots ① \end{eqnarray*} である． 等式 $ ① $ を $ t $ の2次方程式とみて，その判別式を $ D_2 $ とする． \begin{eqnarray*} D_2/4&=&4a^2(q-b)^2-4a(a-p)\{(q-b)^2-4p(r-c)\}\\ &=&4ap\left\{(q-b)^2-4(p-a)(r-c)\right\} \end{eqnarray*} $ C_1 $ と $ C_2 $ に共通接線が存在するための必要十分条件は， $ ① $ を満たす実数 $ t $ が存在すること，つまり， $ D_2\geqq 0 $ と同値である．
一方， $ C_1 $ と $ C_2 $ の共有点の個数は， \[ ax^2+bx+c=px^2+qx+r \] つまり \[ (p-a)x^2+(q-b)x+r-c=0 \] の判別式 $ D_3 $ によって定まる． $ D_3\geqq 0 $ なら1個以上， $ D_3\leqq 0 $ なら1個以下である． \[ D_3=(q-b)^2-4(p-a)(r-c) \] である．したがって， \[ D_2/4=4apD_3 \] となるので， $ D_2\geqq 0 $ となるための条件は， \[ ap >0 かつ D_3\geqq 0 またはap< 0 かつ D_3\leqq 0 \] となり，題意が示された．