2018年入試問題研究に戻る東北大理系4番
三角形 $ \mathrm{ABC} $ の内接円の半径を $ r $ ，外接円の半径を $ R $ とし， $ h=\dfrac{r}{R} $ とする． また， $ \angle \mathrm{A}=2\alpha $ ， $ \angle \mathrm{B}=2\beta $ ， $ \angle \mathrm{C}=2\gamma $ とおく．
(1) $ h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $ となることを示せ．
(2) 三角形 $ \mathrm{ABC} $ が直角三角形のとき $ h\leqq \sqrt{2}-1 $ が成り立つことを示せ． また，等号が成り立つのはどのような場合か．
(3) 一般の三角形 $ \mathrm{ABC} $ に対して $ h\leqq \dfrac{1}{2} $ が成りたつことを示せ． また，等号が成り立つのはどのような場合か．