2018年入試問題研究に戻る東工大4番
$xyz$空間内において，連立不等式 \[ \dfrac{x^2}{4}+y^2=1,\ \quad |z|\leqq 6 \] により定まる領域を$V$とし，2点$(2,\ 0,\ 2)$，$(-2,\ 0,\ -2)$を通る直線を$l$とする．
(1) $|t|\leqq 2\sqrt{2}$ を満たす実数 $t$ に対し， 点 $\mathrm{P}_t\left(\dfrac{t}{\sqrt{2}},\ 0,\ \dfrac{t}{\sqrt{2}} \right)$ を通り $l$ に垂直 な平面を $H_t$ とする．また，実数 $\theta$ に対し，点 $(2\cos\theta,\ \sin\theta,\ 0)$ を通り $z$ 軸に 平行な直線を $L_{\theta}$ とする．$L_{\theta}$ と $H_t$ との交点の $z$ 座標を $t$ と $\theta$ を用いて表せ．
(2) $l$ を回転軸に持つ回転体で $V$ に含まれるものを考える． このような回転体のうちで体積が最大となるものの体積を求めよ．