2019年入試問題研究に戻る千葉大第12問
数直線上に動点 $ \mathrm{P} $ があり，はじめに原点にあるとする． $ k=1,\ 2,\ \cdots $ に対し， $ k $ 回目にさいころを振ったとき， 1，2の目が出たら $ \mathrm{P} $ は正の方向に $ \dfrac{1}{2^k} $ だけ移動し， 3，4が出たら負の方向に $ \dfrac{1}{2^k} $ だけ移動し， 5，6が出たら移動しないとする． $ n $ 回さいころを振った後の点 $ \mathrm{P} $ の座標を $ X_n $ とする．
(1) $ 0< X_n $ となる確率を求めよ．
(2) $ \dfrac{1}{2}< X_n $ となる確率を求めよ．
(3) $ l $ は $ n $ 未満の正の整数とする．このとき， $ \dfrac{1}{2^l}< X_n $ となる確率を求めよ．