2019年入試問題研究に戻る千葉大第13問解答
(1) $ f(x)=x^2 $ ， $ g_a(x)=(2a+3)x-a(a+3) $ とおく． 放物線 $ y=f(x) $ と直線 $ y=g_a(x) $ の交点の $ x $ 座標は \[ f(x)-g_a(x)=x^2-(2a+3)x+a(a+3)=(x-a)(x-a-3)=0 \] より， $ x=a $ と $ x=a+3 $ である．
$ a=n $ のとき． \[ \begin{array}{l} g_n(n+1)-f(n+1)=2\\ g_n(n+2)-f(n+2)=2 \end{array} \] より， $ D(n) $ 内の $ x=n,\ n+1,\ n+2,\ n+3 $ 上の格子点は \[ \begin{array}{l} (n,f(n))\\ (n+1,f(n+1)）,\ (n+1,f(n+1)+1),\ (n+1,f(n+1)+2)\\ (n+2,f(n+2)）,\ (n+2,f(n+2)+1),\ (n+2,f(n+2)+2)\\ (n+3,f(n+3)) \end{array} \] であり，あわせて8個ある．(2) $ D(a) $ に含まれる格子点の $ x $ 座標は $ a\leqq n \leqq a+3 $ の範囲の整数である． この $ n $ に対して $ D(a+1) $ に含まれる格子点で $ x $ 座標が $ n+1 $ となるものを考える．
$ D(a) $ に含まれる $ x $ 座標が $ n $ の格子点は， \[ (n,f(n)),\ (n,f(n)+1),\ \cdots,\ (n,f(n)+[g_a(n)-f(n)]) \] である．ただし，実数 $ x $ に対して $ [x] $ は $ x $ を超えない最大の整数とする．
$ D(a+1) $ に含まれる $ x $ 座標が $ n+1 $ の格子点は， \[ (n+1,f(n+1)),\ (n+1,f(n+1)+1),\ \cdots,\ (n+1,f(n+1)+[g_{a+1}(n+1)-f(n+1)]) \] である．ここで， \[ \begin{array}{l} g_a(x)-f(x)=(x-a)(a+3-x),\ \\ g_{a+1}(x)-f(x)=(x-a-1)(a+4-x) \end{array} \] なので， \begin{eqnarray*} g_a(n)-f(n)&=&(n-a)(a+3-n)\\ g_{a+1}(n+1)-f(n+1)&=&(n+1-a-1)(a+4-n-1)\\ &=&g_a(n)-f(n) \end{eqnarray*} である．よって， $ D(a) $ に含まれる $ x $ 座標が $ n $ の格子点の個数と， $ D(a+1) $ に含まれる $ x $ 座標が $ n+1 $ の格子点の個数が 一致する．
$ n $ を $ n+1 $ ， $ n+2 $ などに置きかえても同様であるので， 任意の実数 $ a $ について， $ D(a) $ に含まれる格子点の個数と $ D(a+1) $ に含まれる格子点の個数は等しい．※ 本問は次の基本的な事実にもとづいている． 放物線 $ C:y=x^2 $ と，放物線上の異なる2点 $ \mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2) $ ， $ \mathrm{B}(\beta,\ \beta^2) $ がある． $ \alpha< \beta $ とする．直線 $ \mathrm{AB} $ の方程式は， \begin{eqnarray*} y&=&\dfrac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}(x-\alpha)+\alpha^2\\ &=&(\alpha+\beta)x-\alpha\beta \end{eqnarray*} となる． $ \alpha< t< \beta $ $ C $ 上の点 $ \mathrm{T}(t,\ t^2) $ と，直線 $ \mathrm{AB} $ 上の $ x $ 座標が $ t $ の点 $ \mathrm{C}(t,\ (\alpha+\beta)t-\alpha\beta) $ との距離 $ \mathrm{TC} $ は， \[ \mathrm{TC}=(\alpha+\beta)t-\alpha\beta-t^2=(t-\alpha)(\beta-t) \] である．
したがって， $ \alpha $ を $ \alpha+\delta $ に， $ \beta $ を $ \beta+\delta $ に， $ t $ を $ t+\delta $ に変えて，点 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{T} $ と，直線 $ \mathrm{AB} $ をそれぞれ動かしても， $ t-\alpha $ と $ \beta-t $ は変わらないので， $ \mathrm{TC} $ は不変である．