2019年入試問題研究に戻る阪大理系第4問解答
(1) 分数 $ \dfrac{p}{q} $ が既約，つまり $ p $ と $ q $ の最大公約数が1とする． $ p+q $ と $ p $ の最大公約数を $ d $ とすると， $ p+q $ と $ p $ が $ d $ の倍数となり，その結果 $ q $ も $ d $ の倍数となる． つまり $ d $ は $ p $ と $ q $ の公約数である．よって $ d=1 $ ．つまり分数 $ \dfrac{p}{p+q} $ は既約である． 同様に分数 $ \dfrac{p+q}{q} $ も既約である． $ \dfrac{1}{1} $ は既約なので，この構成方法で得られるすべての分数は既約である．
(2) 正の有理数でこの樹形図に現れないものが存在するとする．そのなかで，（分母）＋（分子）が最小であるものを $ \dfrac{p}{q} $ とする． $ q >p $ のとき， $ \dfrac{p}{q}=\dfrac{p}{q-p+p} $ なので，分数 $ \dfrac{p}{q} $ は分数 $ \dfrac{p}{q-p} $ から作られる． $ \dfrac{p}{q} $ は存在しない有理数で $ p+q $ が最小であったから，分数 $ \dfrac{p}{q-p} $ は樹形図に存在する． この結果， $ \dfrac{p}{q} $ も存在し，存在しないという仮定と矛盾した． $ q< p $ のとき， $ \dfrac{p}{q}=\dfrac{p-q+q}{q} $ なので分数 $ \dfrac{p-q}{q} $ から作られ，存在しないという仮定と矛盾した．
よって，すべての正の有理数がこの樹形図に現れる．(3) 分数 $ \dfrac{p}{q} $ が 分数 $ \dfrac{x}{y} $ から作られるとする． $ q >p $ のときは分数 $ \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{p}{q} $ となり，既約分数なので $ p=x $ ， $ q=x+y $ である． $ q< p $ のときは分数 $ \dfrac{x+y}{y}=\dfrac{p}{q} $ となり，既約分数なので $ p=x+y $ ， $ q=y $ である． それぞれ， $ (x,\ y) $ は $ (p,\ q-p) $ または $ (p-q,\ q) $ と， 分数 $ \dfrac{p}{q} $ を作る分数は一意に定まる． 従って異なる分数からは異なる分数が作られる． $ n $ 段目までがすべて異なれば， $ n+1 $ 段目までもすべて異なり，2段目まではすべて異なるので，数学的帰納法から この樹形図に現れる有理数はすべて異なる．
(4) $ \dfrac{19}{44} $ を逆にたどると， \[ \begin{array}{l} \dfrac{19}{44},\ \dfrac{19}{25},\ \\ \dfrac{19}{6},\ \dfrac{13}{6},\ \dfrac{7}{6},\ \\ \dfrac{1}{6},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{1} \end{array} \] 従って， $ \dfrac{1}{1} $ からはじめて， 左下に5回で $ \dfrac{1}{6} $ になり，右下に4回で $ \dfrac{19}{6} $ ，左下に2回で $ \dfrac{19}{44} $ になる． よって11段目にある．
$ \dfrac{1}{6} $ からはじまる樹形図の部分は，11段目までに5段あり，11段目のこの部分は分数が $ 2^5=32 $ 個ある． 左下に2回なので， $ \dfrac{19}{44} $ はこの部分の右から4個目にある． つまり左からは $ 32-4+1=29 $ 番目にある．
$ \dfrac{19}{44} $ はこの樹形図の上から11段目の左から29番目に配置される．