2019年入試問題研究に戻る浜松医大3番
関数 $ f(x) $ はすべての実数 $ a,\ b,\ c $ に対して \[ f(a)f(b-c)+f(b)f(c-a)+f(c)f(a-b)=0 \] を満たすものと仮定する．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) すべての実数 $ x $ に対して $ f(-x)=-f(x) $ が成立することを証明せよ．
(2) 0以上のすべての整数 $ n $ ，および，すべての実数 $ x,\ y $ に対して \[ f\left(\dfrac{y}{2} \right)\sum_{k=0}^nf(x+ky)= f\left(x+\dfrac{n}{2}y \right) f\left(\dfrac{n+1}{2}y \right) \] が成立することを証明せよ．
(3) $ f(x) $ はすべての実数 $ x $ で連続かつ $ x=0 $ で微分可能で $ f'(0)=1 $ と仮定する． $ f(x) $ の原始関数の1つを $ F(x) $ とすれば， すべての実数 $ s,\ t $ に対して \[ \dfrac{F(t)-F(s)}{2}=f\left(\dfrac{s+t}{2} \right) f\left(\dfrac{t-s}{2} \right) \] が成立することを証明せよ．