2019年入試問題研究に戻る神戸大理系後期1番解答
(1) \begin{eqnarray*} \tan\dfrac{7\pi}{12}&=&\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4} \right) =\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3}+\tan\dfrac{\pi}{4}}{1-\tan\dfrac{\pi}{3}\cdot\tan\dfrac{\pi}{4}}\\ &=&\dfrac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot1}=-2-\sqrt{3} \end{eqnarray*}
(2) \[ \tan\dfrac{\pi}{4}=1\leqq m=\tan\alpha,\quad \tan\dfrac{\pi}{3}< 2\leqq n=\tan\beta \] であり， $ \tan x $ は， $ \alpha $ ， $ \beta $ の範囲である $ 0< x< \dfrac{\pi}{2} $ で単調増加なので， \[ \dfrac{\pi}{4}\leqq \alpha,\ \dfrac{\pi}{3}< \beta \] である．よって， \[ \alpha+\beta >\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{12} \] である．
(3) $ mn \geqq 2 $ なので \[ \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{m+n}{1-mn}< 0 \] であり， $ \displaystyle \dfrac{\pi}{2}< \dfrac{7\pi}{12}< \alpha+\beta< \pi $ なので， \[ -2-\sqrt{3}< \dfrac{m+n}{1-mn}< 0 \] である．これより， $ \dfrac{m+n}{1-mn} $ が整数となるなら， \[ \dfrac{m+n}{1-mn}=-3,\ -2,\ -1 \] である．これを整理すると，順に \[ \left\{ \begin{array}{l} (3m-1)(3n-1)=10,\ \\ (2m-1)(2n-1)=5,\ \\ (m-1)(n-1)=2 \end{array} \right. \] となる． $ m\geqq 1 $ ， $ n\geqq 2 $ ， $ m< n $ の条件の下でこれをみたす整数の組は， \[ (m,\ n)=(1,\ 2),\ (1,\ 3),\ (2,\ 3) \] となる．