2019年入試問題研究に戻る京大特色1番
$ a $ を2以上の整数とし，有理数 $ b $ を $ b=1+\dfrac{1}{a} $ により定める．自然数 $ n $ に対して， \[ S_n=\sum_{k=1}^n k^{\frac{1}{a}} \] とおく．ただし， $ k^{\frac{1}{a}} $ とは $ a $ 乗すると $ k $ になる正の実数のことである． 以下の設問に答えよ．
(1) $ \displaystyle \lim_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{n^b}=\dfrac{1}{b} $ を示せ．
(2) $ \displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(S_n-\dfrac{n^b}{b}\right)=\infty $ を示せ．