2019年入試問題研究に戻る京大特色2番
以下の設問に答えよ．ただし， $ 0!=1 $ とする．
(1) $ n $ を自然数とする． $ F(x) $ は実数を係数とする $ x $ の $ n $ 次以下の多項式であって， $ m $ が整数のとき $ F(m) $ がつねに整数となるものとする．このとき，次の性質（あ），（い）を満たす実数 $ c_0,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n $ が存在することを示せ．
（あ）次の式が $ x $ についての恒等式となる． \begin{eqnarray*} &&\dfrac{F(x)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\\ &=&c_0+\dfrac{c_1}{x+1}+\dfrac{c_2}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\dfrac{c_n}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} \end{eqnarray*}
（い） $ 0\leqq k \leqq n $ を満たすすべての整数 $ k $ について $ (n-k)!c_k $ は整数である．
(2) 0以上の整数 $ k $ に対して， $ x $ の $ k $ 次多項式 $ P_k(x) $ を次のように定める． \begin{eqnarray*} &P_0(x)&=1,\\ &P_1(x)&=x+1,\\ &P_2(x)&=(x+1)(x+3),\\ &&\cdots\\ &P_k(x)&=(x+1)(x+3)\cdots(x+2k-3)(x+2k-1),\\ &&\cdots \end{eqnarray*} また， $ a,\ b $ を $ a\leqq b $ を満たす 0 以上の整数とする． このとき， $ x $ についての次の恒等式が成り立つことを示せ． \[ \dfrac{P_{a+b}(x)}{a!b!P_a(x)P_b(x)}=\sum_{q=0}^a\dfrac{2^q}{q!(a-q)!(b-q)!P_q(x)} \]