2019年入試問題研究に戻る東北大理系第3問解答
(1) $ x_{n+1}-x_n=x_n^2\geqq 0 $ より，数列 $ \{x_n\} $ は単調に増加する． $ x_1=a >0 $ なら $ x_n >0 $ なので， $ x_n^2 $ も単調に増加する．よって， \[ x_{n+1}=x_n+x_n^2\geqq x_n+x_1^2=x_n+a^2 \] この結果， \[ x_n=x_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_{k+1}-x_k \right)\geqq a+(n-1)a^2 \] であり， \[ \lim_{n \to \infty}\left(a+(n-1)a^2 \right)=+\infty \] より，数列 $ \{x_n\} $ は発散する．
(2) すべての正の整数 $ n $ に対して $ -1< x_n< 0 $ が成り立つことを数学的帰納法で示す．
$ x_1=a $ で $ -1< a< 0 $ なので， $ n=1 $ で成立． $ -1< x_n< 0 $ とする． \[ x_{n+1}=\left(x_n+\dfrac{1}{2} \right)^2-\dfrac{1}{4}\geqq -\dfrac{1}{4} >-1 \] で， $ -\dfrac{1}{2}< x_n+\dfrac{1}{2}< \dfrac{1}{2} $ より $ \left(x_n+\dfrac{1}{2} \right)^2-\dfrac{1}{4}< 0 $ なので， $ -1< x_{n+1}< 0 $ が成立し， すべての正の整数 $ n $ に対して $ -1< x_n< 0 $ が成り立つ．(3) (2)から $ -1< x_n< 0 $ なので， \[ \dfrac{1}{x_{n+1}}=\dfrac{1}{x_n(x_n+1)}=\dfrac{1}{x_n}-\dfrac{1}{x_n+1} \] であり， $ 0< x_n+1< 1 $ である．よって， \[ 1< \dfrac{1}{x_n+1} \] となるので， \[ \dfrac{1}{x_{n+1}}< \dfrac{1}{x_n}-1 \] である． \[ \dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1}{x_1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac{1}{x_{k+1}}-\dfrac{1}{x_k}\right) < \dfrac{1}{a}-(n-1) \] \[ \lim_{n \to \infty}\left\{\dfrac{1}{a}-(n-1)\right\}=-\infty \] であるから， \[ \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{x_n}=-\infty \] よって， \[ \lim_{n \to \infty}x_n= \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\dfrac{1}{x_n}}=0 \] である．