2019年入試問題研究に戻る早大商1番(4)解答
$ \alpha=5-2\sqrt{5} $ ， $ \beta=5+2\sqrt{5} $ とおき， $ a_m=\alpha^m+\beta^m $ とする． $ \alpha+\beta=10 $ ， $ \alpha\beta=5 $ で， \[ \alpha^{m+2}+\beta^{m+2}=(\alpha+\beta)\left(\alpha^{m+1}+\beta^{m+1} \right) -\alpha\beta\left(\alpha^m+\beta^m \right) \] より， \[ a_{m+2}=10a_{m+1}-5a_m \] である．そして， \[ a_1=10,\ a_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=90 \] で，上記漸化式から \begin{eqnarray*} a_3&=&900-50=850\\ a_4&=&8500-450=8050 \end{eqnarray*} $ m\geqq 3 $ のとき $ a_m $ を100で割った余りは50であることを数学的帰納法で示す． $ m=3,\ 4 $ は成立． $ m=k,\ k+1 $ での成立を仮定し， $ a_k=100N_k+50 $ ， $ a_{k+1}=100N_{k+1}+50 $ とおく．このとき， \begin{eqnarray*} a_{k+2}&=&10(100N_{k+1}+50)-5(100N_k+50)\\ &=&100(10N_{k+1}-5N_k)+250=100(10N_{k+1}-5N_k+2)+50 \end{eqnarray*} より成立． $ 0< \alpha< 1 $ なので， \[ (5+2\sqrt{5})^m=100N_m+49+(1-\alpha^m) \] で \[ 0< 1-\alpha^m< 1 \] であり，かつ $ 2019 >3 $ なので \[ n\leqq (5+2\sqrt{5})^{2019}< n+1 \] を満たす整数 $ n $ を100で割った余りは49である．