2020年入試問題研究に戻る千葉大11番
定義域を $ 0\le x\leqq 1 $ とする関数 $ f_n(x) $ と $ f(x) $ を以下で定める． \[ \begin{array}{l} \displaystyle f_1(x)=0,\ f_{n+1}(x)=\int_0^x\left(f_n(t)-1 \right)^2\,dt (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\\ f(x)=\dfrac{x}{x+1} \end{array} \]
(1) 正の整数 $ n $ に対して，不等式 \[ 0\leqq f_n(x)\leqq 1 (0\leqq x\leqq 1) \] が成り登つことを証明せよ。
(2) 正の整数 $ n $ に対して，不等式 \[ (-1)^nf_n(x)\geqq (-1)^nf(x) (0\leqq x\leqq 1) \] が成り立つことを証明せよ。
(3) 実数 $ a\ (0\leqq a\leqq 1) $ に対して，極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(a) $ を求めよ。