2020年入試問題研究に戻る京大理系1番解答
3つの解を $ \alpha,\ \beta,\ \gamma $ とし， $ \alpha $ が実数， $ \gamma=\bar{\beta} $ とする．解と係数の関係から \[ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma=-3a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=\alpha|\beta|^2=-1 \end{array} \] 正三角形の中心は \[ \dfrac{1}{3}\left(\alpha+\beta+\gamma \right)=-a \] であり，一辺の長さが $ \sqrt{3}a $ なので，中心と頂点との距離は \[ \sqrt{3}a\sin\dfrac{\pi}{3}\times\dfrac{2}{3}=a \] である． $ \alpha< 0 $ なので， $ \alpha=-2a $ である． ここで1の3乗根の虚数を $ \omega $ とする． \[ \omega=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} \] である．これを用いて中心のまわりの各頂点の回転を考えると \[ \beta-(-a)=\omega(\alpha-(-a)),\ \quad \gamma-(-a)=\omega^2(\alpha-(-a)) \] となり， $ \omega^2+\omega+1=0 $ なので，この結果 \[ \begin{array}{l} \beta=-a\left(\omega+1\right)=a\omega^2\\ \gamma=-a\left(\omega^2+1\right)=a\omega \end{array} \] となる．これから \[ \alpha\beta\gamma=-2a^3=-1 \] よって \[ a=\left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}=2^{-\frac{1}{3}} \] となる．また \[ b=(-2a)a\omega^2+a\omega^2\cdot a\omega+a\omega(-2a) =a^2(1-2\omega-2\omega^2)=3a^2=3\cdot 2^{-\frac{2}{3}} \] そして，3つの解は \[ -2\cdot 2^{-\frac{1}{3}}=-2^{\frac{2}{3}},\ \quad 2^{-\frac{1}{3}}\cdot\dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}= -2^{-\frac{4}{3}}\left(1\pm\sqrt{3}i\right) \] である．