2020年入試問題研究に戻る京大理系2番
$ p $ を正の整数とする． $ \alpha $ ， $ \beta $ は $ x $ に関する方程式 $ x^2-2px-1=0 $ の2つの解で， $ |\alpha|>1 $ であるとする.
(1) すべての正の整数 $ n $ に対し， $ \alpha^n+\beta^n $ は整数であり，さらに偶数であることを証明せよ.
(2) 極限 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(-\alpha)^n\sin (\alpha^n \pi) $ を求めよ，