2020年入試問題研究に戻る京大文系1番解答
求める2次関数を $ y=ax^2+bx+c $ と置く． グラフが $ y=x^2 $ のグラフと2点で交わるために，2次方程式 $ x^2=ax^2+bx+c $ が異なる2実解をもつ．よって \[ (a-1)x^2+bx+c=0 \cdots① \] において， $ a\ne 1 $ かつ，判別式 $ D $ が正であることが必要である． \[ D=b^2-4(a-1)c >0 \] 交点での接線が直交しているので， \[ \begin{array}{l} (2as+b)(2s)=-1\\ (2at+b)(2t)=-1 \end{array} \cdots② \] 以上を満たすことが， $ a,\ b,\ c $ の必要十分条件である．
$ ② $ より， $ s $ と $ t $ は 2次方程式 \[ 4ax^2+2bx+1=0 \cdots③ \] の2解でもある．
つまり条件は2つの2次方程式 $ ① $ ， $ ③$ が同一の解をもつこととなる．
$ b\ne 0 $ のとき， \[ 2(a-1)=4a,\ 2c=1 \] これより $ a=-1 $ ， $ c=\dfrac{1}{2} $ である． このとき任意の $ b $ に対して $ D=b^2+4 $ となり正である． よって，任意の $ b $ に対し \[ y=-x^2+bx+\dfrac{1}{2} \] は条件を満たす．
$ b=0 $ のとき， $ ① $ ， $ ③ $ は \[ (a-1)x^2+c=0,\ 4ax^2+1=0 \] となる．これが同じ解をもつてので \[ -\dfrac{c}{a-1}=-\dfrac{1}{4a} \] つまり， $ c=\dfrac{a-1}{4a} $ である． このとき， $ D=-\dfrac{(a-1)^2}{4a} >0 $ より $ a< 0 $ である． \[ y=ax^2+\dfrac{a-1}{4a} \] 以上から求める2次関数は \[ \begin{array}{ll} y=-x^2+bx+\dfrac{1}{2}&(bは任意の実数)\\ y=ax^2+\dfrac{a-1}{4a}&(a< 0) \end{array} \]