2020年入試問題研究に戻る神戸大理系5番解答
(1) \[ x_1=\dfrac{1}{2^3+1}=\dfrac{1}{9},\quad x_2=\left|\dfrac{2}{9}-1 \right|=\dfrac{7}{9},\quad x_3=\left|\dfrac{14}{9}-1 \right|=\dfrac{5}{9},\quad x_4=\left|\dfrac{10}{9}-1 \right|=\dfrac{1}{9} \] したがって， \[ x_n= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{9}&\left( n (\bmod \ 3)\equiv 1\right)\\ \dfrac{7}{9}&\left( n (\bmod \ 3)\equiv 2\right)\\ \dfrac{5}{9}&\left( n (\bmod \ 3)\equiv 0\right) \end{array} \right. \] である．
(2) \[ x_1=\dfrac{1}{2^p+1},\quad x_2=\left|\dfrac{2}{2^p+1}-1 \right|=\dfrac{2^p-1}{2^p+1},\quad x_3=\dfrac{2^p-3}{2^p+1} \] より， $ 2\leqq k \leqq p $ に対して， \[ x_k=\dfrac{2^p-(2^{k-1}-1)}{2^p+1} \] と推測される．これを仮定する． $ 2\leqq k \leqq p-1 $ のとき， \[ x_{k+1}=\left|2x_k-1 \right|=\left|\dfrac{2^{p+1}-(2^k-2)}{2^p+1}-1 \right|=\dfrac{2^p-(2^k-1)}{2^p+1} \] となり $ k+1 $ で成立する．数学的帰納法により推測が証明された． よって， \[ x_{p+1}= \left|2x_p-1 \right|= \left|\dfrac{2^{p+1}-(2^p-2)}{2^p+1}-1 \right|=\dfrac{1}{2^p+1}=x_1 \] である．