2020年入試問題研究に戻る京大特色1番解答
(1) 等式 $ \sin\left(\sqrt{f(x)} \right)=x $ の両辺を $ x $ で微分することにより， \[ \cos\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=1 \] を得る．これから， \[ \cos\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot f'(x)=2\sqrt{f(x)} \quad \cdots ① \] なので，$ ① $ の両辺をさらに $ x $ で微分する． \[ -\sin\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\cdot f'(x) +\cos\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot f''(x)=\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \] 両辺に $ \cos\left(\sqrt{f(x)} \right) $ を乗じる． \[ -\sin\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot \cos\left(\sqrt{f(x)} \right)\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\cdot f'(x) +\cos^2\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot f''(x)=\cos\left(\sqrt{f(x)} \right)\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \] $ \cos\left(\sqrt{f(x)} \right)\cdot\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=2 $ であるから， \[ -xf'(x)+(1-x^2)f''(x)=2 \quad \cdots ② \] を得る．
(2) $ ② $ の両辺を $ x $ で微分することにより， \[ -f'(x)-3xf''(x)+(1-x^2)f^{(3)}(x)=0 \] を得る．くり返し微分し， $ f_n(x)=\dfrac{d^n}{dx^n}f(x) $ を用いて \[ p_nf_n(x)+q_nxf_{n+1}(x)+(1-x^2)f_{n+2}(x)=0 \quad \cdots ③ \] とおけるとする．ただし， $ p_1=-1,\ q_1=-3 $ である．さらに $ x $ で微分し \[ (p_n+q_n)f_{n+1}(x)+(q_n-2)xf_{n+2}(x)+(1-x^2)f_{n+3}(x)=0 \] を得る．これから \[ p_{n+1}=p_n+q_n,\ \quad q_{n+1}=q_n-2 \] となり，数学的帰納法から $ ③ $ の形におけることが示された． そして \[ q_n=-3-2(n-1)=-(2n+1) \] であり， \[ p_{n+1}-p_n=-(2n+1) \] となる．よって \[ p_n=p_1-\sum_{k=1}^{n^1}(2k+1)=-1-(n^2-1)=-n^2 \] となる． $ ③ $ において， $ x\to +0 $ の極限をとることにより， \[ p_n a_n+a_{n+2}=0 \] となるので， \[ a_{n+2}=n^2a_n \quad \cdots ④ \] を得る．
一方， $ ① $ より， $ a_1=f'(0)=0 $ ， $ ② $ より， $ a_2=f''(0)=2 $ である．
よって， $ n $ が奇数のときは $ a_n=0 $ である．
$ n $ が偶数のときは， $ ④ $ より， \[ \dfrac{a_n}{a_{n-2}}\cdot\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-4}}\cdot\cdots \cdot\dfrac{a_4}{a_2}=(n-2)^2(n-4)^2\cdots2^2 \] $ a_2=2 $なので， $ n=2m $ とおくと， \[ a_n=2(2m-2)^2(2m-4)^2\cdots2^2=2^{2m-1}\{(m-1)!\}^2 \] したがって \[ a_n= \left\{ \begin{array}{lr} 0&(n:奇数)\\ 2^{n-1}\left\{\left(\frac{n}{2}-1\right)!\right\}^2&(n:偶数) \end{array} \right. \](3) $ n $ が偶数のとき， (2)より， \[ \dfrac{a_n}{n!2^{\frac{n}{2}}}= \dfrac{2^{2m-1}\{(m-1)!\}^2}{(2m)!2^m}= \dfrac{2^{m-1}\{(m-1)!\}^2}{(2m)!}= \dfrac{2^{m-1}}{m^2{}_{2m} \mathrm{C}_m} \] これを $ b_m $ とおく． \begin{eqnarray*} b_1&=&\dfrac{1}{2}=0.5\\ b_2&=&\dfrac{2}{4\cdot 6}=\dfrac{1}{12}=0.08\dot{3}\\ b_3&=&\dfrac{4}{9\cdot 20}=\dfrac{1}{45}=0.0\dot{2} \end{eqnarray*} よって， \[ 0.6< b_1+b_2+b_3< 0.61 \] $ m\geqq 4 $ のとき， \[ b_m< \dfrac{1}{8m(m-1)}=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{m-1}-\dfrac{1}{m} \right) \] が成りたつ．なぜなら， \begin{eqnarray*} &&b_m< \dfrac{1}{8m(m-1)}\\ &\iff&4\cdot 2^m(m-1)< m^2\cdot\dfrac{2m(2m-1)(2m-2)\cdots 1}{m! m!}\\ &\iff&4\cdot (m-1)< m^2\cdot\dfrac{(2m-1)(2m-3)\cdots 1}{m(m-1)\cdots1} \end{eqnarray*} $ m\geqq 4 $ のとき， \[ 4(m-1)< m^2,\ \dfrac{(2m-1)(2m-3)\cdots 1}{m(m-1)\cdots 1}>1 \] より成立する．この結果任意の $ M $ に対して \[ \sum_4^Mb_m< \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{M} \right)< \dfrac{1}{24} =0.041\dot{6} \] が成立する．したがって \[ 0.6< \sum_4^{\infty}b_m< 0.61+0.042=0.652 \] したがって，極限値を小数第1位までは $ 0.6 $ と確定する．