京大特色2番解答
(1) 1回目の試行で $ \mathrm{B} $ に来たときの，3回の試行でのコマの動きは次のようになる．
1回目の試行で $ \mathrm{C} $ に来たときは， $ \mathrm{B} $ と $ \mathrm{C} $ をすべて入れかえたものになる．
よって，2回の試行でのコマが頂点 $ \mathrm{A} $ に来る確率 $ p_2 $ は
\[
p_2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}
\]
3回の試行でのコマが頂点 $ \mathrm{A} $ に来る確率 $ p_3 $ は
\[
p_3=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}
\]
である．
(2)
試行の条件から， $ n $ 回目と $ n+1 $ 回目の同じ頂点に留まるのは，
$ n-1 $ 回目もそこにあるときにかぎる．こうして， $ n-2,\ \cdots $ がすべて同じ頂点にあるときにかぎるが，
(1)より， $ n\leqq 3 $ では留まることはない．
これより，数学的帰納法によってコマが1回の試行で同じ頂点に留まることはない．
$ n+1 $ 回の試行の後，コマが $ \mathrm{A} $ にあるのは，次の2つの場合である．
1． $ n-1 $ 回目にコマが $ \mathrm{A} $ にあり， $ n $ 回目には $ \mathrm{B , C} $ にあって， $ \mathrm{A} $ に移動する． この確率は \[ \dfrac{2}{3}p_{n-1} \] である．
2． $ n-1 $ 回目， $ n $ 回目にコマが $ \mathrm{A} $ になく， $ n+1 $ 回目に $ \mathrm{A} $ に移動する．
$ n-1 $ 回目， $ n $ 回目ともコマが $ \mathrm{A} $ にあることはないので，
$ p_{n-1}+p_n $ は $ n-1 $ または $ n $ 回目にコマが $ \mathrm{A} $ にある確率である．
したがって， $ n-1 $ 回目， $ n $ 回目にコマが $ \mathrm{A} $ にない確率は
\[
1-p_{n-1}-p_n
\]
である．
この場合から $ \mathrm{A} $ に移動するのは3の倍数が出るときなので，その確率は
\[
\dfrac{1}{3}\left(1-p_{n-1}-p_n \right)
\]
である．よって，
\begin{eqnarray*}
p_{n+1}&=&\dfrac{2}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3}\left(1-p_{n-1}-p_n \right)\\
&=&-\dfrac{1}{3}p_n+\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3}
\end{eqnarray*}
となる．また $ p_0=1 $ である．
(3)
(2)から
\[
p_{n+1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(p_n-\dfrac{1}{3} \right)-\dfrac{1}{3}\left(p_{n-1}-\dfrac{1}{3} \right)=0
\]
$ q_n=p_n-\dfrac{1}{3} $ とおき， $ q_n $ の漸化式を
\[
q_{n+1}-(\alpha+\beta)q_n+\alpha\beta q_{n-1}=0
\]
とおくと， $ \alpha+\beta=-\dfrac{1}{3} $ ， $ \alpha\beta=-\dfrac{1}{3} $ である．これより
$ \alpha $ ， $ \beta $ は2次方程式
\[
t^2+\dfrac{1}{3}t-\dfrac{1}{3}=0
\]
の2解なので，
\[
\alpha,\ \beta=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{6}
\]
である．これを用いると漸化式は
\[
\begin{array}{l}
q_{n+1}-\alpha q_n=\beta\left(q_n-\alpha q_{n-1} \right)\\
q_{n+1}-\beta q_n=\alpha\left(q_n-\beta q_{n-1} \right)
\end{array}
\]
となる．これから
\[
\begin{array}{l}
q_{n+1}-\alpha q_n=\beta^n\left(q_1-\alpha q_0 \right)\\
q_{n+1}-\beta q_n=\alpha^n\left(q_1-\beta q_0\right)
\end{array}
\]
よって，
\[
(\beta-\alpha)q_n=\beta^n\left(q_1-\alpha q_0 \right)-\alpha^n\left(q_1-\beta q_0\right)
\]
$ |\alpha|< 1,\ |\beta|< 1 $ であるから，
\[
\lim_{n\to \infty}q_n=\lim_{n\to \infty}\left(p_n-\dfrac{1}{3} \right)=0
\]
となる．つまり，
\[
\lim_{n\to \infty}p_n=\dfrac{1}{3}
\]
である．