2020年入試問題研究に戻る東大理科第6問
以下の問いに答えよ。
(1) $ A $ ， $ \alpha $ を実数とする。 $ \theta $ の方程式 \[ A\sin 2\theta-\sin(\theta+\alpha)=0 \] を考える。 $ A >1 $ のとき，この方程式は $ 0\leqq \theta<2\pi $ の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。
(2) 座標平面上の楕円 \[ C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \] を考える。また， $ 0< r< 1 $ を満たす実数 $ r $ に対して，不等式 \[ 2x^2+y^2< r^2 \] が表す領域を $ D $ とする。 $ D $ 内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数 $ r\ (0< r< 1) $ が存在することを示せ。 また，そのような $ r $ の最大値を求めよ。
条件： $ C $ 上の点Qで，Qにおける $ C $ の接線と直線 PQ が直交するようなものが少なくとも4個ある。