2020年入試問題研究に戻る東大理科文科第4問解答
(1) 選ぶ順序も区別して， $ n $ 個のものから，同じものを選ぶ場合を含めて2個選んだ積の和から， 同じものを2個選んだ積の和を除く． \begin{eqnarray*} &&\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}2^j\cdot 2^i-\sum_{i=0}^{n-1}2^{2i}\\ &=&\dfrac{2^n-1}{2-1}\cdot\dfrac{2^n-1}{2-1}-\dfrac{4^n-1}{4-1}\\ &=&\dfrac{2\cdot 4^n}{3}-2^{n+1}+\dfrac{4}{3} \end{eqnarray*} このなかには $ 2^3 $ と $ 2^5 $ ， $ 2^5 $ と $ 2^3 $ のように2組ずつ同じものが入っている． よって，異なるものを順序を区別せず2個選ぶ場合の和 $ a_{n,2} $ は， この2分の1である．よって， \[ a_{n,2}=\dfrac{4^n}{3}-2^n+\dfrac{2}{3} \]
(2) $ a_{n,k} $ の定義により， \[ f_n(x)=(1+2^0x)(1+2^1x)\cdots\cdots(1+2^{n-2}x)(1+2^{n-1}x) \] である．従って， \begin{eqnarray*} \dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}&=&1+2^nx\\ \dfrac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}&=&\dfrac{f_{n+1}(x)}{(1+2^0(2x))(1+2^1(2x))\cdots\cdots(1+2^{n-2}(2x))(1+2^{n-1}(2x))}\\ &=&1+2^0x=1+x \end{eqnarray*}
(3) (2)より， \begin{eqnarray*} f_{n+1}&=&(1+2^nx)\left(1+a_{n,1}x+a_{n,2}x^2+\cdots\cdots+a_{n,n}x^n \right)\\ &=&(1+x)\left(1+2a_{n,1}x+2^2a_{n,2}x^2+\cdots\cdots+2^na_{n,n}x^n \right) \end{eqnarray*} である．両辺のの $ x^{k+1} $ の係数を比較することにより， \begin{eqnarray*} a_{n+1,k+1} &=&2^na_{n,k}+a_{n,k+1}\\ &=&2^ka_{n,k}+2^{k+1}a_{n,k+1} \end{eqnarray*} を得る． これから $ a_{n,k+1} $ を消去して \[ (2^{k+1}-1)a_{n+1,k+1}=(2^{n+k+1}-2^k)a_{n,k} \] つまり， \[ \dfrac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}=\dfrac{2^{n+k+1}-2^k}{2^{k+1}-1} \] である．