2020年入試問題研究に戻る東工大第2問
複素数平面上の異なる3点 $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{C} $ を複素数 $ \alpha $ ， $ \beta $ ， $ \gamma $ で表す．ここで $ \mathrm{A} $ ， $ \mathrm{B} $ ， $ \mathrm{C} $ は同一直線上にないと仮定する.
(1) △$\mathrm{ABC} $ が正三角形となる必要十分条件は， \[ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \] であることを示せ．
(2) △$\mathrm{ABC} $ が正三角形のとき，△$\mathrm{ABC} $ の外接円上の点Pを任意にとる．このとき， \[ \mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2 \] および \[ \mathrm{AP}^4+\mathrm{BP}^4+\mathrm{CP}^4 \] を外接円の半径 $ R $ を用いて表せ． ただし2点 $ \mathrm{X，Y} $ に対し， $ \mathrm{XY} $ とは線分 $ \mathrm{XY} $ の長さを表す．