2020年入試問題研究に戻る鳥取大解答
(1) $ f(-0)=-f(0) $ より， $ f(0)=0 $ である．
(2) $ f'(0-x)=f'(0)f'(-x)-f(0)f(-x) $ が成り立ち， $ f(0)=0 $ ， $ f'(0)=1 $ なので， $ f'(-x)=f'(-x) $ となる．つまり， $ f'(x) $ は偶関数である．
(3) $ f'(x-y)=f'(x)f'(-y)-f(x)f(-y)=f'(x)f'(y)+f(x)f(y) $ なので， \[ f'(x+y)-f'(x-y)=-2f(x)f(y) \] である． $ x=\dfrac{u+v}{2} $ ， $ y=\dfrac{u-v}{2} $ を代入して，(3)の等式を得る．
(4) (3)を $ u=x+h $ ， $ v=x $ で用いて， \[ \dfrac{f'(x+h)-f'(x)}{h}=-\dfrac{2}{h}f\left(x+\dfrac{h}{2} \right)f\left(\dfrac{h}{2} \right) \] である． ここで， \[ \lim_{h \to 0}\dfrac{2}{h}f\left(\dfrac{h}{2} \right)=f'(0)=1 \] であり， $ f(x) $ は微分可能なので連続であるから， \[ \lim_{h \to 0}\dfrac{f'(x+h)-f'(x)}{h}=-f(x) \] となる．つまり， $ f'(x) $ は微分可能で， $ f''(x)=-f(x) $ である．