2021年入試問題研究に戻る同大3番解答
(1) 2の条件をそれぞれ $ n=1 $ ， $ n=2 $ で用いて， \[ \begin{array}{ll} (1+3)a_2-(1+1)a_1=2(1+1)&∴ a_2=\dfrac{3}{2}\\ b_1+2b_2=a_2\left(b_1+2b_2\right)&∴ b_2=1 \end{array} \]
(2) 第1の条件式に $ n+2 $ を乗じて \[ (n+2)(n+3)a_{n+1}-(n+1)(n+2)a_n=2(n+1)(n+2) \] つまり， \[ c_{n+1}-c_n=2(n+1)(n+2) \]
(3) (2),および $ c_1=6 $ より， \begin{eqnarray*} c_n &=&c_1+2\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)(k+2)\\ &=&6+2\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{3}\left\{(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2) \right\}\\ &=&6+\dfrac{2}{3}\left(n(n+1)(n+2)-6\right)=\dfrac{2}{3}n(n+1)(n+2)+2 \end{eqnarray*} よって， \[ a_n=\dfrac{c_n}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{2}{(n+1)(n+2)} \] となる．
(4) 第2の条件式より， $ n\geqq 2 $ のとき \begin{eqnarray*} nb_n&=&\sum_{k=1}^nkb_k-\sum_{k=1}^{n-1}kb_k\\ &=&a_n\left(\sum_{k=1}^nb_k \right)-a_{n-1}\left(\sum_{k=1}^{n-1}b_k \right)\\ &=&a_nb_n+(a_n-a_{n-1})s_{n-1} \end{eqnarray*} よって， \[ (n-a_n)b_n=(a_n-a_{n-1})s_{n-1} \] ここで， \begin{eqnarray*} n-a_n&=&\dfrac{1}{3}n-\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}\\ a_n-a_{n-1}&=&\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{2}{n(n+1)}\\ &=&\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{2}{n}(n-a_n) \end{eqnarray*} したがって， \[ (n-a_n)b_n=(n-a_n)d_ns_{n-1}=\dfrac{2}{n}(n-a_n)s_{n-1} \] 帰納的に $ b_n>0 $ で $ s_{n-1}>0 $ であり， $ n\geqq 2 $ のとき \begin{eqnarray*} n-a_n&=&\dfrac{1}{3}n-\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}\\ &=&\dfrac{1}{3}n\left(1-\dfrac{6}{n(n+1)(n+2)}\right)>0 \end{eqnarray*} なので， $ d_n=\dfrac{2}{n} $ である．
(5) (4)の結果より， \[ nb_n=nd_ns_{n-1}=2s_{n-1} \] である．したがってまた， \[ (n+1)b_{n+1}=2s_n \] これより， \[ (n+1)b_{n+1}-nb_n=2b_n \] つまり $ (n+1)b_{n+1}=(n+2)b_n $ となる． これから， \[ \dfrac{b_{n+1}}{n+2}=\dfrac{b_n}{n+1} \] が得られるので， \[ \dfrac{b_n}{n+1}=\dfrac{b_2}{3}=\dfrac{1}{3} \] よって， $ n\geqq 2 $ のとき， \[ b_n=\dfrac{1}{3}(n+1) \] である．