京大特色2番
自然数 $ n,\ m $ に対して横 $ n $ 個，縦 $ m $ 個からなる $ n\times m $ 個のマスを考え，それぞれのマスに1つずつ白玉または黒玉を入れる．その白玉と黒玉の入れ方のうち，黒玉が上下左右いずれにも隣り合わないような入れ方の総数を $ a_{n,m} $ とする． 例えば $ n=5 $ ， $ m=3 $ のとき，図1の入れ方は黒玉が上下左右いすれにも隣り合わないような入れ方であり， 図2の入れ方は黒玉が左右に隣り合っている入れ方である．
下の設問に答えよ．
(1) $ a_{n,2} $ を求めよ．
(2) ある正の実数 $ D $ が存在して，すべての自然数 $ n $ について \[ \dfrac{1}{2}\leqq \dfrac{\log_2a_{n,n}}{n^2} \leqq \dfrac{1}{2}\log_2\left(1+\sqrt{2} \right)+\dfrac{D}{n} \] となることを示せ．