2021年入試問題研究に戻る特色入試総人理系2番
$ a $ を正の実数とし，直線 $ l_a:y=ax $ と曲線 $ C:y=e^x $ を考える。このとき以下の問に答えよ。
問1 次の不等式を示せ(ただし $ n $ は自然数)。 \[ e^x\geqq 1+\sum_{k=1}^n\dfrac{x^k}{k!} (x \geqq 0) \]
問2 $ l_a $ と $ C $ がちょうど2点で交わるような $ a $ の範囲を求めよ。
問3 $ a $ が問2の範囲にあるとき，2つの交点の $ x $ 座標をそれぞれ $ x_1(a) $ ， $ x_2(a) $ とする (ただし $ x_1(a)< x_2(a)) $ 。 また $ l_a $ と $ C $ で囲まれる図形の面積を $ S(a) $ とする。 さらに $ C $ と2直線 $ x=x_1(a) $ ， $ x=x_2(a) $ ，それに $ x $ 軸とで囲まれる図形の面積を $ T(a) $ とする。このとき \[ \lim_{a \to \infty}\dfrac{1}{\log a}\cdot\dfrac{S(a)}{T(a)} \] を求めよ。