2021年入試問題研究に戻る滋賀医大3番解答
(1)
(i) いずれの面も他の3面と隣りあうので，4面とも異なる色でなければならない．
よって，4色必要である．
(ii) $ n $ 色から4色選ぶのが $ {}_n \mathrm{C}_4 $ 通りある． 1色をある面に塗る．その面に隣りあう3面に他の3色を塗るのは，3個の円順列なので， $ \dfrac{3!}{3}=2 $ 通り． よって，求める塗り方の数は \[ {}_n \mathrm{C}_4\times 2=\dfrac{1}{12}n(n-1)(n-2)(n-3) （通り）． \](2)
(i) いずれの面も，4面と隣りあい，1面とは隣りあわない． ある面に1色，それと隣りあう4面は2色で塗り分けられる． ある面と隣りあわない面は同色を塗る．
よって，3色必要である．
(ii) 何色で塗るかで場合に分ける．
3色で塗る場合：塗り方は対面同色なので1通り．3色の決め方は $ {}_n \mathrm{C}_3 $ 通り．
4色で塗る場合：塗り方は1組の対面を異なる色で塗るので， $ {}_4 \mathrm{C}_2=6 $ 通り， 4色の決め方は $ {}_n \mathrm{C}_4 $ 通り．
5色で塗る場合：塗り方は1組の対面を同色，他は異なる色で塗る．対面を同色で塗る色を決める．周りは4色の環順列になる． $ {}_5 \mathrm{C}_1\cdot \dfrac{(4-1)!}{2}=15 $ 通り，
6色で塗る場合：塗り方は対面すべて異なる色で塗るので， $ \dfrac{{}_6 \mathrm{C}_2 \cdot {}_4 \mathrm{C}_2}{3}=30 $ 通り， 6色の決め方は $ {}_n \mathrm{C}_6 $ 通り．
よって， \begin{eqnarray*} &&{}_n \mathrm{C}_3+6\cdot {}_n \mathrm{C}_4+15\cdot {}_n \mathrm{C}_5+30\cdot {}_n \mathrm{C}_6\\ &=&\dfrac{1}{24}n(n-1)(n-2)\left\{4+6(n-3)+3(n-3)(n-4)+(n-3)(n-4)(n-5) \right\}\\ &=&\dfrac{1}{24}n(n-1)(n-2)(n^3-9n^2+32n-38)\ (通り) \end{eqnarray*}
※ 本問はさらに，正八面体，正十二面体，正二十面体の場合に拡張される．