2021年入試問題研究に戻る理科6番解答
(1) \begin{eqnarray*} x^4+bx+c&=&(x^2+px+q)(x^2-px+r)\\ &=&x^4+(q+r-p^2)x^2+p(r-q)x+qr \end{eqnarray*} これが恒等式なので，係数を比較して， \[ \left\{ \begin{array}{l} q+r-p^2=0\\ p(r-q)=b\\ qr=c \end{array} \right. \] となる． $ p\ne 0 $ なので， \[ q+r=p^2,\ \quad r-q=\dfrac{b}{p} \] これより， \[ q=\dfrac{1}{2}\left(p^2- \dfrac{b}{p}\right),\ \quad r=\dfrac{1}{2}\left(p^2+ \dfrac{b}{p}\right) \]
(2) (1)の結果より \[ c=qr=\dfrac{1}{4}\left(p^4- \dfrac{b^2}{p^2} \right) \] $ 4p^2 $ 倍して整理すると， \[ p^6-4cp^2-b^2=0 \] ここに， $ b $ と $ c $ の条件を代入して \[ p^6+\left(4a+3\right)(a^2+1)p^2-(a^2+1)^2(a+2)^2=0 \] $ 4a+3=(a+2)^2-(a^2+1) $ なので，左辺を因数分解して \[ \{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2\}=0 \] よって， \[ f(t)=t^2+1,\ \quad g(t)=(t^2+1)(t+2)^2 \] は条件をみたす整式の1組である．
(3) $ x^4+bx+c $ が2次式の積に因数分解できたとして，それを \begin{eqnarray*} x^4+bx+c&=&(x^2+px+q)(x^2+sx+r)\\ &=&x^4+(p+s)x^3+(ps+q+r)x^2+(pr+qs)x+qr \end{eqnarray*} とおく．これより $ p+s=0 $ である．したがって， $ x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac{3}{4} \right)(a^2+1) $ が2次式の積に因数分解できれば， ある実数 $ p,\ q,\ r $ を用いて \begin{eqnarray*} &&x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac{3}{4} \right)(a^2+1)\\ &=&(x^2+px+q)(x^2-px+r) \end{eqnarray*} とおくことができる．
$ p=0 $ のとき． $ (x^2+px+q)(x^2-px+r)=x^4+(q+r)x^2+qr $ なので， \[ (a^2+1)(a+2)=0,\ \quad q+r=0 \] これから $ a=-2 $ で $ c=qr=-q^2 $ となる．つまり， \[ q^2=-c=\left(-2+\dfrac{3}{4} \right)\{(-2)^2+1\}= \] これをみたす有理数 $ q $ は存在しない．
$ p\ne 0 $ のとき．任意の $ a $ に対して \[ p^4+(a^2+1)p^2+(a^2+1)(a+2)^2>0 \] であるから，(2)より $ p^2-(a^2+1)=0 $ である． $ p $ が有理数であるものを求めるので， $ p=\dfrac{m}{n}\ (m,\ n\ は互いに素) $ とおく． $ p^2=a^2+1 $ より， \[ m^2=n^2(a^2+1) \] となるが， $ m^2 $ と $ n^2 $ も互いに素なので， $ n^2=1 $ である． これから $ (m-a)(m+a)=1 $ となり， \[ m-a=m+a=\pm 1 \] よって $ a=0 $ ， $ m=\pm 1 $ が必要である．このとき， \begin{eqnarray*} &&x^4+(a^2+1)(a+2)x-\left(a+\dfrac{3}{4} \right)(a^2+1)\\ &=&x^4+2x-\dfrac{3}{4} \end{eqnarray*} であるが，(1)の式から \[ p(r-q)=2,\ \quad qr=-\dfrac{3}{4} \] とおくと， $ p=1 $ ， $ q=-\dfrac{1}{2} $ ， $ r=\dfrac{3}{2} $ がこれをみたす．つまり， \[ x^4+2x-\dfrac{3}{4}=\left(x^2+x-\dfrac{1}{2} \right)\left(x^2-x+\dfrac{3}{2} \right) \] と因数分解される．よって，条件をみたす $ a $ は $ a=0 $ である．