2021年入試問題研究に戻る東工大3番
以下の問いに答よ．
(1) 正の整数 $ n $ に対して，二項係数に関する次の等式を示せ． \[ n{}_{2n}\mathrm{C}_n=(n+1){}_{2n} \mathrm{C}_{n-1} \] また，これを用いて $ {}_{2n} \mathrm{C}_n $ は $ n+1 $ の倍数であることを示せ．
(2) 正の整数 $ n $ に対して， \[ a_n=\dfrac{{}_{2n} \mathrm{C}_n}{n+1} \] とおく．このとき， $ n\geqq 4 $ ならば $ a_n >n+2 $ であることを示せ．
(3) $ a_n $ が素数となる正の整数 $ n $ をすべて求めよ．