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京大特色理学部3番

$ Z^4 $ を4つの整数 $ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4 $ の組 $ (a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4) $ 全体のなす集合とする． このとき，以下の条件をすべて満たすような $ Z^4 $ の部分集合 $ S $ が存在することを示せ．

(i) $ (a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4)\in S $ ならば \[ (a_1)^2-(a_2)^2+(a_3)^2-(a_4)^2=1 \] が成り立つ．
(ii) $ S $ は無限集合である．
(iii) 6つの整数の組 $ (d_1,\ d_2,\ d_3,\ d_4,\ d_5,\ d_6) $ で $ (d_1,\ d_2,\ d_3,\ d_4)\ne (0,\ 0,\ 0,\ 0) $ を満たす任意のものに対し， $ S $ の部分集合 \[ \left\{(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4)|(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4)\in S かつ d_1a_1+d_2a_2=d_5 かつ d_3a_3+d_4a_4=d_6\right\} \] は有限集合である．