2022年入試問題研究に戻る京大特色総人理系2番解答
$ f(x)=x^3-nx-p $ とおく.
3次方程式 $ f(x)=0 $ が有理数の解をもつとする.それを $ x=\dfrac{b}{a}\ \left(a>0,\ b\ は互いに素な整数\right) $ とおく. \[ \left(\dfrac{b}{a} \right)^3-n\left(\dfrac{b}{a} \right)-p=0 \] これより \[ \dfrac{b^3}{a}=nab+pa^2 \] 右辺は整数で, $ a $ と $ b^3 $ も互いに素なので, $ a=1 $ である.この結果 \[ b^3-nb=b(b^2-n)=p \] となり, $ b $ は $ p $ の約数,つまり $1,\ -1,\ p,\ -p $のいずれかである. \[ \begin{array}{ll} b=1のとき&1-n=pよりn=-p+1\\ b=-1のとき&-1+n=pよりn=p+1\\ b=pのとき&p^3-np=pよりn=p^2-1\\ b=-pのとき&-p^3+np=pよりn=p^2+1 \end{array} \] このうち,条件 $ 1\leqq n\leqq p+1 $ と矛楯しないのは, $ b=-1 $ で $ n=p+1 $ のときである. このとき, \[ f(x)=x^3-(p+1)x-p=(x+1)(x^2-x-p) \] となり,方程式$f(x)=0$の解は \[ -1,\ \dfrac{1\pm\sqrt{1+4p}}{2} \] である. ここで,$\sqrt{1+4p}$が有理数であるとあるとし, \[ \sqrt{1+4p}=\dfrac{k}{l}\ (l,\ k\ は互いに素) \] とおく.これより, \[ 1+4p=\dfrac{k^2}{l^2}\ (l,\ k\ は互いに素) \] で,$l^2,\ k^2$も互いに素であるが, $1+4p$が整数なので,$l^2=1$. よって,このとき,$1+4p=k^2$となる. さらに,$1+4p$が奇数なので$k$は奇数である. $k=2m-1$とおく. \[ 1+4p=(2m-1)^2=4m^2-4m+1 \] つまり, \[ p=m^2-m=m(m-1) \] $p$が素数なので, \[ (m,\ m-1)=(2,\ 1),\ (-1,\ -2) \] のいずれかで,$p=2$,$k=3$である. 以上から \[ \begin{array}{l} p=2,\ n=3のとき,有理数解 3 個\ (2重解x=-1と2)\\ p\geqq 3,\ n=p+1のとき,有理数解1個,無理数解 2 個\\ その他の時,実数解をもてば,それは無理数である \end{array} \] したがって$n=p+1$のとき,3次方程式$f(x)=0$の解は,整数解が$x=-1$と無理数解2個である.
$ n < p+1 $ とする. このとき,実数解はすべて無理数解である. $f'(x)=3x^2-n$より,関数$f(x)$は$x=\pm \sqrt{\dfrac{n}{3}}$で極となる. \[ f\left(\pm \sqrt{\dfrac{n}{3}} \right) =\mp\dfrac{2n}{3}\sqrt{\dfrac{n}{3}}-p \] よって, \begin{eqnarray*} f\left(\sqrt{\dfrac{n}{3}} \right)f\left(-\sqrt{\dfrac{n}{3}} \right) &=&p^2-\dfrac{4n^3}{27}=4\left(\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}\right) \end{eqnarray*} である. ここで, \[ 4(p+1)^3-27p^2=(p-2)^2(4p+1) \] より,$p>2$のとき$4(p+1)^3-27p^2>0$で,$p=2$のとき$4(p+1)^3-27p^2=0$である. よって, \[ p+1\geqq \sqrt[3]{\dfrac{27p^2}{4}}=3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}} \] 従って, 条件$n < p+1$と条件$n < 3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}$では,後者の方が強い. よって,
i) $\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}>0$,つまり,$3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}>n$のとき,1個.
ii) $\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}=0$,つまり,$3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}}=n$のとき,2個.
iii) $\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{n^3}{27}<0$,つまり,$3\sqrt[3]{\dfrac{p^2}{4}} < n $ のとき,3個.
である.