2022年入試問題研究に戻る九大理系3番解答
(1) $ n^2+1 $ ， $ n^2-1 $ は偶数なので， $ \dfrac{n^2+1}{2} $ ， $ \dfrac{n^2-1}{2} $ は整数である．その共通因数を $ p $ とし， $ \dfrac{n^2+1}{2}=pq,\ \dfrac{n^2-1}{2}=pr $ と置く． \[ \dfrac{n^2+1}{2}-\dfrac{n^2-1}{2}=1=p(q-r) \] より， $ p=1 $ ．つまり， $ \dfrac{n^2+1}{2} $ ， $ \dfrac{n^2-1}{2} $ は互いに素な整数である．
(2) $ 210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 $ であり， $ 168=2^3\cdot 3\cdot 7 $ である． 条件より， \[ n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 m^2 \] ここで，
$ n\equiv 0,\ \pm1\ (\bmod \ 3) $ に対して $ n^2+1\equiv 1,\ 2\ (\bmod \ 3) $ なので， $ n^2+1 $ は3の倍数ではない．よって $ n^2-1 $ が3の倍数である．
$ n\equiv 0,\ \pm1,\ \pm2,\ \pm3\ (\bmod \ 7) $ に対して $ n^2+1\equiv 1,\ 5,\ 3\ (\bmod \ 7) $ なので， $ n^2+1 $ は7の倍数ではない．よって $ n^2-1 $ が7の倍数である．
$ n $ は奇数であるので $ n=2k+1 $ と置くと \[ n^2-1=4k^2+4k=4k(k+1) \] で， $ k(k+1) $ は偶数なので， $ n^2-1 $ は8の倍数である．
よって， $ n^2-1 $ は \[ 3\cdot 7\cdot 8=168 \] の倍数である．(3) $ n^2-1=168s=2^3\cdot 3\cdot 7s $ とおく． $ m $ は偶数なので， $ m=2q $ とおくと， \[ (n^2+1)(n^2-1)=(2^3\cdot 3\cdot 7s+2)\cdot 2^3\cdot 3\cdot 7s= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot(2q)^2 \] これより， \[ 2s(84s+1)=5q^2 \] を得る．ここで $ s=10 $ とすると， \begin{eqnarray*} n^2&=&1+2^3\cdot 3\cdot7 \cdot10=1681=41^2\\ q^2&=&\dfrac{1}{5}\left\{2\cdot10(84\cdot 10+1) \right\}=2^2\cdot29^2 \end{eqnarray*} となり， $ n=41 $ ， $ q=2\cdot 29=58 $ が条件をみたす． このとき， $ m=116 $ となるので， \[ (m,\ n)=(116,\ 41) \] は $ ① $ みたす．