2022年入試問題研究に戻る東工大 2番解答
(1) $ A=a+b+c $ ， $ B=bc+ca+ab $ ， $ C=abc $ とおく．3つの正の整数 $ a,\ b,\ c $ は3次方程式 \[ t^3-At^2+Bt-C=0 \] を満たす．これから， \[ a^3=Aa^2-Ba+C \] である． $ A=a+b+c $ ， $ B=bc+ca+ab $ ， $ C=abc $ の最大公約数が1より大きいと仮定し， 共通素因数の1つを $ p $ とすると， $ a^3 $ が $ p $ の倍数で $ p $ が素数なので， $ a $ が $ p $ の倍数である．
$ A,\ B,\ C $ が $ a,\ b,\ c $ について対称なので， $ b,\ c $ も $ p $ の倍数となり， $ a,\ b,\ c $ の最大公約数が1であることと矛楯する．
よって， $ a+b+c $ ， $ bc+ca+ab $ ， $ abc $ の最大公約数は1である．
(2) $ a+b+c $ ， $ a^2+b^2+c^2 $ ， $ a^3+b^3+c^3 $ の最大公約数を $ d $ とおく． \begin{eqnarray*} &&(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)\\ &&(a+b+c)^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=3abc \end{eqnarray*} より， $ 2(ab+bc+ca) $ ， $ 3abc $ も $ d $ を約数にもつ． つまり $ d $ は $ a+b+c $ ， $ 2(bc+ca+ab) $ ， $ 3abc $ の公約数である．
$ a+b+c $ ， $ bc+ca+ab $ ， $ abc $ の最大公約数が1なので， $ d $ は，2と3で構成される6の約数であることが必要である．
つまり， $ d=1,\ 2,\ 3,\ 6 $ が必要である．
それぞれ，対応する $ a,\ b,\ c $ が存在することを示す．
$ a=1,b=c=2 $ のとき $ a+b+c=5 $ で2,3を因数にもたないので $ d=1 $ ．
$ a=b=1,c=2 $ のとき \[ a+b+c=4,\ a^2+b^2+c^2=6,\ a^3+b^3+c^3=10 \] より $ d=2 $ ．
$ a=b=c=1 $ のとき \[ a+b+c=a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=3 \] より $ d=3 $ ．
$ a=b=1,c=4 $ のとき \[ a+b+c=6,\ a^2+b^2+c^2=18,\ a^3+b^3+c^3=66 \] より $ d=6 $ ．
よって求める正の整数は \[ 1,\ 2,\ 3,\ 6 \] である．