2023年入試問題研究に戻る

京大特色理学部2番

2つの整数 $ m $ と $ n $ が $ 0< m< n $ を満たすとする．また，関数 $ H(x) $ を \[ H(x)=-x\log x-(1-x)\log(1-x)\ (0< x < 1) \] と定める．ただし，$\log$ は自然対数を表す．また，$e$ を自然対数の底とする．以下の設問に答えよ．

(1) ${}_n \mathrm{C}_m \leqq e^{nH(\frac{m}{n})}$ が成り立つことを示せ．

(2) $0\leqq k \leqq n$ を満たす任意の整数 $k$ に対して \[ {}_n \mathrm{C}_k\left(\dfrac{m}{n} \right)^k\left(1-\dfrac{m}{n} \right)^{n-k} \leqq {}_n \mathrm{C}_m\left(\dfrac{m}{n} \right)^m\left(1-\dfrac{m}{n} \right)^{n-m} \] が成り立つことを示せ．

(3) $ {}_n \mathrm{C}_m\geqq \dfrac{1}{n+1}e^{nH(\frac{m}{n})} $ が成り立つことを示せ．