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京大特色理学部3番

複素数の数列 $ \{z_n\} $ に対する次の2つの条件を考える。

座標平面上の円 $ D_1:x^2+y^2=64 $ と円 $ D_2:x^2+(y-4)^2=9 $ に関して，以下の設問に答えよ．

(1) 座標平面上の3点 $ (0,8) $ , $ (3\sqrt{7},1) $ , $ (-3\sqrt{7},1) $ を頂点とする三角形の外接円は $ D_1 $ であり，内接円は $ D_2 $ であることを示せ．

(2) $ D_1 $ が外接円であり，さらに $ D_2 $ が内接円である任意の三角形 $ \bigtriangleup \mathrm{ABC} $ に対して，実数 $ \alpha,\ \beta,\ \gamma $ を \begin{eqnarray*} &&\alpha=\dfrac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{2}-\mathrm{BC}\\ &&\beta=\dfrac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{2}-\mathrm{CA}\\ &&\gamma=\dfrac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{2}-\mathrm{AB} \end{eqnarray*} と定める．このとき $ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105 $ が成り立つことを示せ．