2024年入試問題研究に戻る

京大特色理学部4番

$ t $ を実数とする．投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ $ \dfrac{1}{2} $ であるコインを 10 回投げて，座標空間の点P $ _{0} $ ，P $ _{1} $ ，P $ _{2} $ ， $ \cdots $ ， P $ _{10} $ を以下で定める．

・ 　P $ _{0} $ の座標は $ (1,2,3) $ とする．

・ 　 $ n $ を $ 1\leqq n \leqq 10 $ を満たす任意の自然数とする． P $ _{n-1} $ の座標が $ (x,y,z) $ であるとき、もし $ n $ 回目のコイン投げで表が出たなら P $ _n $ の座標は $ ((1-t)x+ty,x,z) $ とし、裏が出たなら P $ _n $ の座標は $ (x,(1-t)y+tz,y) $ とする．
例えば $ t=-1 $ のとき、1回目のコイン投げで表，2回目のコイン投げで裏が出たなら， P $ _{0} $ ，P $ _{1} $ ，P $ _{2} $ の座標はそれぞれ $ (1,2,3) $ ， $ (0,1,3) $ ， $ (0,-1,1) $ ，となる．また $ t=-1 $ のとき， P $ _{1} $ が取り得る座標空間の点は $ (0,1,3) $ と $ (1,1,2) $ の2個である．
以下の設問に答えよ．

(1) $ t=-1 $ のとき， P $ _{3} $ の座標が $ (1,0,1) $ となる確率を求めよ．

(2) P $ _{10} $ が取り得る座標空間の点の個数を $ N(t) $ とする． $ N(t)\geqq 250 $ となる実数 $ t $ が存在するかどうかを判定せよ．