20c年入試問題研究に戻る

78京大

$ a,\ b,\ c $ を正の数とするとき， 不等式 $ 2\left(\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right) \leqq 3\left(\dfrac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \right) $ を証明せよ． また，等号が成立するのはどんな場合か．

解答

解1 \begin{eqnarray*} 右辺-左辺&=& 3\left(\dfrac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \right)- 2\left(\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \right)\\ &=&\left(c^{\frac{1}{3}} \right)^3-3(ab)^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}+2(ab)^{\frac{1}{2}}\\ &=&\left\{c^{\frac{1}{3}}-(ab)^{\frac{1}{6}} \right\} \left\{c^{\frac{2}{3}}+(ab)^{\frac{1}{6}}c^{\frac{1}{3}}-2(ab)^{\frac{1}{3}} \right\}\\ &=&\left\{c^{\frac{1}{3}}-(ab)^{\frac{1}{6}} \right\}^2 \left\{c^{\frac{1}{3}}+2(ab)^{\frac{1}{6}} \right\}\geqq 0 \end{eqnarray*} 等号成立は $ c=(ab)^{\frac{1}{2}} $ のとき．

注意　 見にくければ $ A=a^{\frac{1}{3}} $ ， $ B=b^{\frac{1}{3}} $ ， $ C=c^{\frac{1}{3}} $ とおけばよい．

一般化した別解　 $ n+1 $ 個の正の数 $ a_k\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n+1) $ について \[ \sum_{k=1}^na_k-n(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} \leqq \sum_{k=1}^{n+1}a_k-(n+1)(a_1\cdots a_{n+1})^{\frac{1}{n+1}} \quad \cdots �@ \] が成立することを示せばよい． \[ f(x)= \sum_{k=1}^na_k+x-(n+1)(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n+1}}x^{\frac{1}{n+1}} \] とおく． \[ f'(x)=1-(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n+1}}x^{\frac{-n}{n+1}} \] なので， $ f(x) $ は $ x=(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} $ で極小で最小である． 最小値は \begin{eqnarray*} f\left((a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\right) &=& \sum_{k=1}^na_k+(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}-(n+1)(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n+1}}\cdot(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n(n+1)}}\\ &=& \sum_{k=1}^na_k+(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}-(n+1)(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\\ &=&\sum_{k=1}^na_k-n(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*} である．つまり \[ \sum_{k=1}^na_k-n(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\leqq f(x) \] $ x=a_{n+1} $ とすることで $ �@ $ が成立する． 等号成立は $ a_{n+1}=(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} $ となるときである． $ n=2 $ の場合が本問の証明である．

注意　 分数指数の微分を避けたければ， $ X=x^{\frac{1}{n+1}} $ とおき， $ X $ の関数として最小値を考えればよい．