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確率とは何か

定義 1 (確率の定義)        $U$を試行の結果の集合，つまり標本空間とする． $U$の部分集合全体の集合を$\mathcal{B}$とする． これは事象の集合である．

$\mathcal{B}$の要素(つまりは1つの事象) に対して実数値を対応させる関数$p$が次の性質を持つとき， 関数$p$を確率と呼ぶ．

$A,\ B\in \mathcal{B}$とする．

1. $p(A)\ge 0$
2. $p(U)=1$
3. $A\cap B=\emptyset$のとき $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$

これを確率の公理という． このとき標本空間$U$に確率$p$が定義されているという． そして，標本空間と確率$p$の組$(U,\ p)$を確率空間という．

例 3        サイコロを振る試行を考える．サイコロを振った結果は1の目から6の目なので

$$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}$$

となる．これらの部分集合の全体が$\mathcal{B}$なので，

$$\mathcal{B}=\left\{\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\},\ \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\},\ \cdots,\ \{6\},\ \emptyset\right\}$$

これらの総数は， 6つの結果を選ぶか選ばないかで決まるので$2^6$個ある．

確率の定義の(2)と(3)より

$$1=p(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\})=p(\{1\})+\cdots+p(\{6\})$$

だから根元事象の確率が全て等しければ

$$p(\{1\})=\cdots=p(\{6\})=\dfrac{1}{6}$$

となる．また，目が奇数になる確率は

$$p(\{1,\ 3,\ 5\})=p(\{1\})+p(\{3\})+p(\{5\})=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$$

である．

サイコロに細工がしてあって，1の目が出る確率が$\dfrac{1}{2}$で他の目が出る確率が各々$\dfrac{1}{10}$ ということもあり得る．この場合，標本空間は上の例と同じだが，その確率が違う． この場合の確率を$q$とすると

$$q(\{1,\ 3,\ 5\})=q(\{1\})+q(\{3\})+q(\{5\})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{7}{10}$$

となる．

このように$(U,\ p)$となるか$(U,\ q)$となるかは現実の問題であって， いずれであるかは，入試問題などでは本来問題文の中で与えられねばならない．

$\mathcal{B}$は$U$の部分集合全体である必要はなく，

1. $\emptyset \in \mathcal{B}$．
2. $A \in \mathcal{B}$なら $\overline{A} \in \mathcal{B}$．
3. $A,\ B\in \mathcal{B}$なら $A\cup B \in \mathcal{B}$．

をみたすものであればよい．第2の条件から， $U \in \mathcal{B}$， $A,\ B\in \mathcal{B}$なら $A\cap B \in \mathcal{B}$も成り立つことに注意しよう．

このような性質を持つ$U$の部分集合の集合を有限加法集合族という． 確率空間はこれを指示して $U(\mathcal{B},\ p)$と書く．

例 4        ジョーカーを除く52枚のトランプから1枚引く試行では， 標本空間$U$は52個の要素からなる． ここでトランプの番号のみを問題とする場合は， $\mathcal{B}$として，Aの4枚，2の4枚，…，Kの4枚の集合をもとにして， これから条件にしたがって作られる部分集合の集合とすることができる．

この場合も，$\mathcal{B}$を$U$とそのすべての部分集合とし， Aである事象，など番号を事象で考えてもよい． 高校数学の確率ではこれで十分である． そこで，以下の記述では， $\mathcal{B}$は$U$の部分集合全体とする