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練習問題 11 (解答
11)
今日が金曜日であるとする. , , 日後はそれぞれ何曜日か.
練習問題 12 (解答
12)
3で割れば1余り,5で割れば2余り,7で割れば3余る正で最小の整数を求めよ.
練習問題 18 (解答
18)
法 の最大公約数を ,最小公倍数を とする.
が解を持つ必要十分条件は
であることを示せ.
またこのとき,解は
を法としてただ一つであることを示せ.
練習問題 19 (解答
19)
個の合同方程式
が解を持つための必要十分条件は
であることを示せ.
このとき解は
の最小公倍数を法としてただ一つであることを示せ.
練習問題 21 (解答
21)
『初等整数論講義』(高木貞治著),39ページ〔問題1〕より.
であるとする.このとき に対して
の
を法とする解は四つあり,その一つを
とすれば4解は
と表されることを示せ.
練習問題 22 (解答
22)
- (1)
- 1 から 1512 までの自然数で 1512 と互いに素なものはいくつあるか.
- (2)
- それらの和はいくらか.
練習問題 23 (解答
23)
平面上,不等式,で定まる領域にある格子点を考える.
原点とこれらの格子点を結ぶ線分で,両端以外に格子点が乗っていないものは
何本あるか.
練習問題 24 (解答
24)
は二つずつ互いに素であるとし,
は実数 を超えない自然数のなかで
割り切れないものの個数を表すとする.
を示せ.ただし
は
を超えない最大の整数を表す.
練習問題 25
(解答
25)
整数で定義された関数が乗法的関数のとき
で定義された関数も乗法的関数であることを示せ.
また,この事実を用いて補題2の別証を考えよ.
練習問題 26
(解答
26)
正の実数 を超えない自然数のうちで と互いに素であるものの
個数を
とおく.
である.
で を超えない整数を表すと定理19,定理20の一般化として
が成り立つことを示せ.
練習問題 29 (解答
29)
を1の原始 乗根とすれば
がすべての
乗根で,そのうち
なる
に対する
ものがちょうど原始
乗根になることを示せ.
以下の練習問題は,『めざせ,数学オリンピック』(J.コフマン,現代数学社)に教えられた.
練習問題 33 (解答
33)
因数分解
を活用して,任意の自然数
に対して
の素因数はすべて
型の素数であることを示せ.
これから
型の素数が無数にあることを示せ.
入試問題 22 (解答
22)
[82名古屋市大]
を自然数とするとき,
は13で割りきれることを証明せよ.
入試問題 23 (解答
23)
[東工大]
を正の整数とするとき、
は、 の倍数であることを示せ.
入試問題 24 (解答
24)
[82九大]
整数を係数とする 次の多項式
について次のことを証明せよ.
- (1)
- 有理数 が方程式の1つの解ならば, は整数である.
- (2)
- ある自然数 に対して, 個の整数
のどれもが で割り切れなければ方程式 は有理数の解をもたない.
入試問題 25 (解答
25)
[01京大文系前期]
任意の整数 に対し, は9で割り切れることを示せ.
入試問題 27 (解答
27)
[70東大理系]
を虚数単位とし
とおく.また はすべての自然数にわたって動くとする.このとき
- (1)
- は何個の異なる値をとりうるか.
- (2)
-
の値を求めよ.
入試問題 29 (解答
29)
[01京都府立医大]
0でない複素数からなる集合 は次を満たしているとする.
- (1)
- ちょうど 個の複素数からなる の例をあげよ.
- (2)
- ちょうど 個の複素数からなる は (1) の例以外にないことを示せ.
入試問題 31 (解答
31)
[95 京大文系後期]
自然数 の関数 を
によって定める.
- (1)
- すべての自然数 に対して を示せ.
- (2)
- あなたの好きな自然数 を一つ決めて を求めよ.
その の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする.
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