次: 一次不定方程式 上: 素数 前: ピタゴラス数の一般形

演習問題

問題 7   解答7     [00上智大]

から には下の選択肢(a)，(b)，(c)，(d)から正しいものを選んで入れよ．

1. $n$ を整数とする．$n$ が6または15で割り切れることは， $n$ が30で割り切れるための ． $1 \le n \le 300$ をみたし，6または15で割り切れる $n$ は全部で 個ある．
2. $m,\ n$ を整数とする． $m+n,\ mn$ がともに12で割り切れることは， $m,\ n$ がともに6で割り切れるための ． $1 \le m \le n \le 100$ をみたし， $m+n,\ mn$ がともに12で割り切れる $m,\ n$ の組は全部で 個ある．
3. $l,\ m,\ n$ を整数とする． $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて5で割り切れることは，$l,\ m,\ n$ がすべて5で割り切れるための ．
4. $l,\ m,\ n$ を整数とする． $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて30で割り切れることは， $l,\ m,\ n$ がすべて30で割り切れるための ． $1\le l \le m \le n \le 100$ をみたし， $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて30で割り切れる $l,\ m,\ n$ の組は全部で 個ある．

選択肢：
　(a)必要十分条件である．
　(b)必要条件であるが十分条件ではない．
　(c)十分条件であるが必要条件ではない．
　(d)必要条件でも十分条件でもない．

問題 8   解答8     ［99京大文後期］

自然数$a\ ,\ b\ ,\ c$について，等式$a^2+b^2=c^2$が成り立ち， かつ$a,\ b$は互いに素とする．このとき，次のことを証明せよ．

(1)

$a$が奇数ならば，$b$は偶数であり，したがって$c$は奇数である．

(2)

$a$が奇数のとき，

$$a+c=2d^2$$

となる自然数$d$が存在する．

（注）本問はピタゴラス数の一般形を求める定理の中の一部であるが， 入試問題として紹介する．

問題 9   解答9     ［06東京工大］

自然数$a\ ,\ b\ ,\ c$が

$$3a=b^3,\ 5a=c^2$$

を満たし，$d^6$が$a$を割り切るような自然数$d$は$d=1$に限るとする．

1. $a$は3と5で割り切れることを示せ．
2. $a$の素因数は3と5以外にないことを示せ．
3. $a$を求めよ．

問題 10   解答10     ［09千葉大］

(1)

5以上の素数は，ある自然数$n$を用いて$6n+1$または$6n-1$の形で表されることを示せ．

(2)

$N$を自然数とする．$6N-1$は， $6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数を約数にもつことを示せ．

(3)

$6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ．