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確率は賭け事の理論

南海　 このように「同様に確からしい」ということを考えたのは，もともとは賭け事にはじまる．

まえに少し『数学対話』「何が同様に確からしいのか」で紹介したが，人間は昔から賭け事が大好きだ． サイコロは，紀元前3500年頃，エジプトの第一王朝の時代の遺跡から発掘されている． そのころは動物のかかとの骨で作ったもので，1，3，4，6のものが使われていた． 壁画にも残っている． もともと賭は占いと一体で，このサイコロは賭け事にも「神のお告げ」の占いにも使われていたらしい． 「くじ引き」といえば賭だが，「おみくじ」といえば占いだ． 「当たり」が入っているか「大吉」が入っているか違うだけでやっていることはかわらない．

長い間，賭は勘と経験で行われてきた． 最初に「確率」を考えたのはイタリアのカルダノ（Hieronimo Cardano,1501〜1576）だ． この人はルネサンス期の人で，3次方程式，4次方程式の解の公式を最初に発見したことで知られているが， 本職は賭博師ではなかったかといわれている． 『サイコロ遊びについて』などいくつかの書物があるが，ようするにサイコロ賭博の手引き書だった． 彼は「確からしさ(favourable)」という考え方をつかんでいた．

サイコロを2つ投げて，その目の和に賭けるとすれば，いくつに賭けるのがいちばん有利か， といった問題に解答を出している．

彼は

とすべての場合を書きあげ，7に賭けるのがいちばん有利だと結論を出してる．

次に登場するのはあのガリレオ（Galileo Galelei,1564〜1642）だ． 彼はあるとき親しい賭博師から相談を受けた．科学者とか数学者は賭博の相談役だったのだ．

3つのサイコロを同時に投げ，その目の和に賭けるとき，目の和が9になるのは

$$(1,2,6)\ (1,3,5)\ (1,4,4)\ (2,2,5)\ (2,3,4)\ (3,3,3)$$

の6通りだ．目の和が10になるのも

$$(1,3,6)\ (1,4,5)\ (2,2,6)\ (2,3,5)\ (2,4,4)\ (3,3,4)$$

の6通りだ．

しかし多くの勝負をしてきた経験からするとどうも10に賭けるほうが，ほんの少しだが有利なようだ． これはなぜなのか．

南海　 ちゃんと説明できるだろうか．

史織　 硬貨の場合と同様に，

1. 一つ一つのサイコロでどの目が出るかは同様に確からしい．
2. また，3つのサイコロは互いに影響されない．

とします．

すると硬貨の場合と同様に，3つのサイコロを区別して考えなければならず， すべての目の出方は$6^3=216$通りとなり，この一つ一つが同様に確からしい．

このとき， 3つの目が$(1,3,6)$となるのは，この並べ方だけあり，6通り． 3つの目が$(2,2,5)$となるのは，この並べ方だけあり，3通り．

だからそれぞれの目の組合せが起きる確率は $\dfrac{6}{216}$と $\dfrac{3}{216}$なる． つまり，これらは同様に確からしくはありません．

目の和が9になる確率は

$$\dfrac{6+6+3+3+6+1}{216}=\dfrac{25}{216}$$

です．それに対して目の和が10になる確率は

$$\dfrac{6+6+3+6+3+3}{216}=\dfrac{27}{216}$$

です．

南海　 その通り． 組合せも順列もない時代，やはりガリレオはあらゆる場合を書き出してこのことを説明している． これを経験から見抜いた賭博師も偉い！    しかしこれを説明したガリレオはもっと偉い．

確率論はさらに，パスカル（Blaise Pascal,1623〜1662）とフェルマ（Pierre de Fermat,1601〜1665）で発展する．

この2人の往復書簡には，今皆さんが勉強している確率のほとんどすべてが出てくる．

今，A と B が互いに32円ずつ出して勝負している．互いの実力は同じである． 1回勝つと1点もらえて，先に3点獲得した方が優勝し賭金64円をもらう． A が2点獲得しBが1点獲得しているときに，やむを得ない事情で勝負を中止しなければならなくなった． 64円をどのように分配すべきか．

「期待値」の考え方がここでふくらんでいる．後でこの解答も考えよう．