次： 期待値の定義 上： 確率分布と期待値 前： 確率分布と期待値

確率変数

史織　 「確率変数」はどのように考えればいいのでしょうか．

南海　 確率空間$(U,\ p)$があるとする． $U$の要素である試行の結果に対して実数値が定まるとき，その実数を定める規則を確率変数という．

史織　 $U$の要素$u$に対して実数$X(u)$が定まると言うことですか．つまり$U$から実数への写像ですね．

そうか．すると数$a$に対し$X=a$である確率とは，数の値が$a$となるような結果の集合で定まる事象の確率だ．

$$A=\{u\ \vert\ X(u)=a,\ u \in U\}$$

とすると

$$P(X=a)=p(A)$$

です．これはまた

$$P(X=a)=\sum_{u：X(u)=a}p(u)$$

とも表せます．

南海　 そうだ． このように特に断らなければ$P(X=a)$で確率変数$X$が値$a$をとる確率を表すことにしよう．

確率変数$X$のとる値の全体が $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとすると，$X$は 値 $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$に対して確率 $p_1=P(X=x_1),\ p_2=P(X=x_2),\ \cdots,\ p_n=P(X=x_n)$を対応させる． この対応を$X$の確率分布と言う．