次: 参考書 上: 九点円の不思議 前: 反転法による証明

直極点

南海　 九円点はこれで終わりではない．まだまだ奥深い世界がある． この接点を特徴づけることができる． その準備として一つ新しい概念を導入しよう．

定理 3
     $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$と頂点を通らない直線$l$がある． 各頂点から$l$への垂線の足を $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$， $\mathrm{H}_{\mathrm{B}}$， $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$とする． 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$から直線$\mathrm{BC}$への垂線， 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{B}}$から直線$\mathrm{CA}$への垂線， 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線は1点で交わる． この点$\mathrm{K}$を直線$l$の直極点という．

この証明もいくつかある．

証明    
     直線$\mathrm{AH_A}$と $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外接円の交点を$\mathrm{A}'$とする． $\mathrm{A}'$を通り$l$に平行な直線と直線$\mathrm{BH_B}$，直線$\mathrm{CH_C}$との交点をそれぞれ $\mathrm{B}',\ \mathrm{C}'$とする． また$\mathrm{A'}$から直線$\mathrm{BC}$への垂線の足を$\mathrm{D}$とする．

     直線 $\mathrm{B}'\mathrm{D}$と直線$\mathrm{AC}$が直交することを示す． そのためには

$$\angle \mathrm{ACD}+\angle \mathrm{BDB'}=\dfrac{\pi}{2}$$

を示せばよい． $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}\mathrm{A}'\parallel\mathrm{H}_{\mathrm{B}}\mathrm{B}'$ より

$$\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{AA'B}=\angle \mathrm{A'BB'}$$

また $\angle \mathrm{A'B'B}=\angle \mathrm{A'DB}$より4点 $\mathrm{B'},\ \mathrm{A'},\ \mathrm{D},\ \mathrm{B}$は同一円周上にある． よって

$$\angle \mathrm{BDB'}=\angle \mathrm{BA'B'}$$

ところが

$$\angle \mathrm{BA'B'}+\angle \mathrm{A'BB'}=\dfrac{\pi}{2}$$

なので，直線 $\mathrm{B}'\mathrm{D}$と直線$\mathrm{AC}$は直交している． 同様に直線 $\mathrm{C}'\mathrm{D}$と直線$\mathrm{BA}$も直交している．

線分$\mathrm{A'D}$を点$\mathrm{A'}$が $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$まで平行移動するとき 点$\mathrm{D}$が異動する点を$\mathrm{K}$とする． この方向と大きさの平行移動で点$\mathrm{B'}$は $\mathrm{H}_{\mathrm{B}}$に， 点$\mathrm{C'}$は $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$に移る．

よって，点 $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$から直線$\mathrm{BC}$への垂線， 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{B}}$から直線$\mathrm{CA}$への垂線， 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線は1点$\mathrm{K}$で交わる． □

第二の証明    
     $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{AC}$の中点を $\mathrm{M}_1,\ \mathrm{M}_2$とする． 点$\mathrm{M}_1$を中心とし2点 $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$， $\mathrm{H}_{\mathrm{B}}$を通る円がある． また 点$\mathrm{M}_2$を中心とし2点 $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$， $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$を通る円がある．

     この2円の共通直線，つまり根軸は直線 $\mathrm{M}_1\mathrm{M}_2$と直交する． ところが $\mathrm{M}_1\mathrm{M}_2\parallel \mathrm{BC}$なので この根軸が $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$から辺$\mathrm{BC}$への垂線に他ならない．

     3円の3本の根軸は1点で交わるので， 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{B}}$から直線$\mathrm{CA}$への垂線， 点 $\mathrm{H}_{\mathrm{C}}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線は1点$\mathrm{K}$で交わる． □

耕一　 各辺の中点を中心とし，角垂線の足を通る円の3本の根軸が1点で交わるというのは， 『数学対話』の「反転と円環問題」で読んだことがあります．

南海　 この準備を済ますと，九点円と内接円の接点が 直線$\mathrm{OI}$の直極点であることを示すことができる．

定理 4
     $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$は正三角形でないとする． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の九点円と内接円は直線$\mathrm{OI}$の直極点で接する．

ある傍接円の傍心を$\mathrm{J}$とする． $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の九点円とその傍接円は直線$\mathrm{OJ}$の直極点で接する．

証明

正三角形ではないので，内心は外心と異なり，九点円と内接円も異なる． 定理1によって九点円と内接円は接する． したがってその接点はそれぞれの中心を結ぶ直線$\mathrm{DI}$と九点円の交点である． この交点を$\mathrm{K}$とする．

$\mathrm{K}$が直線$\mathrm{OI}$の直極点であることを示す．

そのために， 頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OI}$に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}_{\mathrm{A}}$とするとき，

$$\mathrm{H}_{\mathrm{A}}\mathrm{K}\bot \mathrm{BC}$$

を示す．これが示されれば，他も同様であるので，$\mathrm{K}$が直線$\mathrm{OI}$の直極点であることがわかる．

その証明をつぎの三段階でおこなう．

(1)

ベクトルの大きさ $\left\vert \overrightarrow{\mathrm{ID}}\right\vert$と $\left\vert \overrightarrow{\mathrm{OI}}\right\vert$の関係式を求める．

(2)

ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OH_A}}$と $\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を求める．

(3)

$\mathrm{H_AK}\bot\mathrm{BC}$を示す．

(1)     $\bigtriangleup \mathrm{ABC}$の外心を原点にとり定理1と同様に角を決める． 定理1の証明から

$$\begin{eqnarray*} &&\overrightarrow{\mathrm{OI}}= \left( \cos\dfrac{\alpha+\b... ...left(\sin\dfrac{\alpha}{2}-\sin\dfrac{\beta}{2}\right) \right) \end{eqnarray*}$$

である．ここで

$$\begin{eqnarray*} \left\vert \overrightarrow{\mathrm{OI}}\right\vert^2&=& \lef... ...c{\alpha}{2}-2\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+2\cos\dfrac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$$

一方，等式(1)をさらに計算すると，

$$\begin{eqnarray*} \left\vert \overrightarrow{\mathrm{ID}}\right\vert&=& \dfrac... ...dfrac{1}{2}\left\vert \overrightarrow{\mathrm{OI}}\right\vert^2 \end{eqnarray*}$$

となる．よって関係式

$$2\left\vert \overrightarrow{\mathrm{ID}}\right\vert=\left\vert \overrightarrow{\mathrm{OI}}\right\vert^2$$ (7)

を得る．

(2)     点$\mathrm{H_A}$は点$\mathrm{A}$の直線$\mathrm{OI}$への正射影である．

$$\overrightarrow{\mathrm{OH_A}}=t\overrightarrow{\mathrm{OI}}$$

とおくと $\overrightarrow{\mathrm{AH_A}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OI}}=0$より $t=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OI}}}{\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OI}} \right\vert^2}$となる．よって

$$\overrightarrow{\mathrm{OH_A}}=\dfrac{\overrightarrow{\math... ...arrow{\mathrm{OI}} \right\vert^2}\overrightarrow{\mathrm{OI}}$$

また点$\mathrm{K}$は直線$\mathrm{DI}$上に $\mathrm{D},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K}$の順にあり， $\mathrm{DK}=\dfrac{1}{2}$となるものなので，

$$\overrightarrow{\mathrm{DK}}=-\dfrac{1}{2\left\vert\overrightarrow{\mathrm{ID}} \right\vert}\overrightarrow{\mathrm{ID}}$$

これから

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{H_AK}}&=& \overrightarrow{\mathrm{OK... ...rrow{\mathrm{OI}} \right\vert^2}\overrightarrow{\mathrm{OI}}\\ \end{eqnarray*}$$

関係式(7)より

$$\overrightarrow{\mathrm{H_AK}}=\dfrac{1}{\left\vert\overrig... ...}} \right\vert^2-1\right)\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right\}$$

(3)     $\mathrm{H_AK}\bot\mathrm{BC}$を示す．

$$\begin{eqnarray*} 1-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OI... ...dfrac{\alpha}{4}\sin\dfrac{\beta}{4}\sin\dfrac{\alpha+\beta}{4} \end{eqnarray*}$$

また

$$\begin{eqnarray*} \left(\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OI}} \right\vert^2-1\... ...beta}{4}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{4}\overrightarrow{\mathrm{OH}} \end{eqnarray*}$$

である． よって

$$\overrightarrow{\mathrm{H_AK}}=\dfrac{4\sin\dfrac{\alpha}{4... ...sin\dfrac{\alpha-\beta}{4}\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right)$$

ここで

$$\begin{eqnarray*} &&\sin\dfrac{\alpha+\beta}{4}\overrightarrow{\mathrm{OI}} +\... ... 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) \end{eqnarray*}$$

また

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{BC}}&=& \left(\cos\beta-\cos\alpha,\... ...n\dfrac{\alpha+\beta}{2},\ -\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right) \end{eqnarray*}$$

なので

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\mathrm{H_AK}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC... ...n\dfrac{\alpha+\beta}{2},\ -\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right) \end{eqnarray*}$$

この内積の $\dfrac{-8\sin\dfrac{\alpha}{4}\sin\dfrac{\beta}{4}\sin\dfrac{\beta-\alpha}{2}}{\left\vert\overrightarrow{\mathrm{OI}} \right\vert^2}$を除く部分を成分計算する．

$$\begin{eqnarray*} &&\sin\dfrac{\alpha+\beta}{4}\left( \cos\dfrac{\alpha+\beta}... ...eta}{4}\sin\dfrac{\alpha+\beta}{4}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{4}=0 \end{eqnarray*}$$

傍接円の場合の証明も同様である．この記述は略する． 以上から定理は証明された． □

耕一　 計算量は多いですが，しかしうまく組みあわせるときれいな結果になるのですね．

南海　 傍接円の場合の計算は略した．代わりに図を描いておこう．

いずれにせよ九点円と内接円または傍接円は接する．その接点は 外心と内心または傍心を結ぶ直線に関する直極点である. 同時にまたその接点は，辺の中点を中心とし内接円または傍接円の接点までの距離を半径とする反転で， その接点の頂角の二等分線に関する対称点が移る点でもある． あえて点に記号をつけず図そのものを示すのでよく味わってほしい．

耕一　 見れば見るほど不思議です．

次: 参考書 上: 九点円の不思議 前: 反転法による証明